Teoria Relações trigonométricas

O ciclo trigonométrico é feito com raio $1$. Para qualquer ângulo $x$ podemos encontrar um ponto correspondente no ciclo trigonométrico e construir o seguinte triângulo retângulo:

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

$$(\text{sen }x)^2 + (\cos x )^2 = 1^2 \\
\boxed{\text{sen}^2 x + \cos^2 x = 1}$$

Esta é uma relação importantíssima para a trigonometria, tanto para calcular razões trigonométricas quanto para simplificar expressões e funções trigonométricas.

A partir da identidade trigonométrica fundamental podemos obter outras que relacionam outras medidas trigonométricas. Para isso, temos que ter em mente o que são a secante, a cossecante a e a cotangente. Nesta ordem, temos que:

\begin{array}{c}
\sec x = \dfrac{1}{\cos x} \\
\text{cossec }x = \dfrac{1}{\text{sen }x} \\
\text{cotg }x = \dfrac{1}{\text{tg } x}
\end{array}

Então vamos retomar a identidade fundamental. A estratégia, primeiro, vai ser dividir todos os termos por $\cos^2 x$, assumindo que $\cos x \neq 0$:

$$\text{sen}^2x + \cos^2 x = 1 \\
\dfrac{\text{sen}^2x}{\cos^2 x} + \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x}\\$$

Agora, podemos trocar $\frac{\text{sen }x}{\cos x} = \text{tg }x$ cancelar $\cos^2x$; assim:

$$\boxed{\text{tg}^2 x + 1 = \sec^2 x}$$

Ao dividir a relação fundamental por $\text{sen}^2 x$ obtemos:

$$\boxed{\text{cotg}^2 x + 1 = \text{cossec}^2x}$$

Com estas identidades podemos aumentar ainda mais as possibilidades de cálculo de razões trigonométricas e simplificações de expressões e funções.