Teoria Relações trigonométricas

Considere $\alpha$ um real qualquer. Então
$$\cos(2\alpha) = \cos^{2}\alpha – \sin^2\alpha$$

Como $\cos^2 \alpha + \sin^2\alpha = 1$, segue que
$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha – (1-\cos^2\alpha) \\
\cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha- 1 + \cos^2 \alpha \\
\cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha- 1\\
\cos 2\alpha + 1 = 2 \cos^2 \alpha \\
\cos^2 \alpha = \dfrac{\cos 2\alpha + 1}{2}\\
\cos \alpha = \pm \sqrt{\dfrac{\cos 2\alpha + 1}{2}}$$

Da mesma forma, podemos trocar $\cos^2 \alpha = 1- \text{sen}^2\alpha$ e obter a seguinte relação:

$$\text{sen }\alpha = \pm\sqrt{\frac{\cos2\alpha- 1}{2}}$$

Se substituirmos $2\alpha = x$, então teremos as fórmulas do seno e do cosseno do arco metade:

$$\boxed{\cos \left ( \dfrac{x}{2} \right ) = \pm \sqrt{\dfrac{\cos x + 1}{2}}}$$

$$\boxed{\text{sen}\left ( \dfrac{x}{2} \right ) = \pm\sqrt{\frac{\cos x- 1}{2}}}$$