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Aplicação: altura de triângulo equilátero

A propriedade da altura no triângulo isósceles também é aplicável ao triângulo equilátero, a qualquer uma de suas bases. A partir daí iremos calcular a altura do triângulo equilátero de lado $4cm$.

Aplicacao Equilatero 1

Primeiro traçamos a altura, dividindo a base ao meio.

Aplicacao Equilatero 2

E aplicamos o teorema de Pitágoras com as medidas destacadas:

\begin{align}
4^2 &= 2^2 + h^2 \\
16 &= 4 + h^2 \\
16- 4 &= h^2 \\
h^2 &= 12 \\
h &= \sqrt{12} \\
h &= 2 \sqrt 3 cm
\end{align}

4.1

Fórmula: altura de triângulo equilátero

No caso do triângulo equilátero, é possível desenvolver uma fórmula que relaciona a altura à medida do lado do triângulo.

Considere um triângulo equilátero de lado $l$. Iremos traçar a altura a dividir a base ao meio:

Formula Equilatero 2

Então temos um triângulo retângulo com catetos $h$ e $\frac{l}{2}$ e hipotenusa $l$. Aplicando o teorema, teremos que:

\begin{align}
l^2 &= h^2 + \left ( \dfrac{l}{2} \right) ^2 \\
l^2 &= h^2 + \dfrac{l^2}{4} \\
l^2- \dfrac{l^2}{4} &= h^2 \\
\dfrac{4l^2- l^2}{4} &= h^2 \\
h^2 &= \dfrac{3l^2}{4} \\
h &= \sqrt{\dfrac{3l^2}{4}} \\
h &= \dfrac{\sqrt{3l^2}}{\sqrt{4}} \\
h &= \dfrac{l \sqrt 3}{2}
\end{align}

Portanto, se um triângulo equilátero possui lado $l$, sua altura medirá $\dfrac{l \sqrt 3}{2}$.