Teoria Sistema de 1º grau (linear)

Um sistema linear é classificado de acordo com a quantidade de soluções que ele possui.

O sistema possível e determinado possui uma única solução. Para que isso ocorra é necessário, mas não suficiente, que o número inicial de equações seja maior ou igual o número de incógnitas.

Se o sistema estiver escalonado e a quantidade de equações válidas e incógnitas for a mesma, então ele é possível e determinado.

Caso o sistema seja quadrado $(n \times n)$ podemos classificá-lo como SPD ao considerar o determinante de $A$, a matriz dos coeficientes na definição matricial do sistema:
$$A \cdot x = b$$

Se $\det A \neq 0$ então o sistema é possível e determinado.

Graficamente, o sistema possível e determinado é representado por um par de retas concorrentes.

O sistema possível e indeterminado possui infinitas soluções. Se o sistema estiver escalonado e a quantidade de equações válidas for menor que a quantidade de incógnitas, então ele é possível e indeterminado.

A diferença entre o número de equações e o de incógnitas é chamado de grau de liberdade do sistema.

Caso o sistema seja quadrado $(n \times n)$ podemos classificá-lo como SPI ao considerar alguns determinantes. Primeiramente, o determinante de $A$, a matriz dos coeficientes na definição matricial do sistema:
$$A \cdot x = b$$

Se $\det A = 0$ então o sistema pode ser ímpossível (SI) ou possível e indeterminado (SPI). Para que seja SPI, é necessário que todos os determinantes parciais sejam nulos:

$$\det A_x = \det A_y = \det A_z = … = 0$$

Obs.: $A_x$ é a chamada matriz parcial no método de Cramer. Nela, a coluna da incógnita $x$ foi substituída pela coluna dos termos independentes $b$. O mesmo vale para as outras (ver Regra de Cramer).

Graficamente, o sistema possível e indeterminado é representado por um par de retas coincidentes.

Não há relação direta entre o número de equações e incógnitas que caracterize um sistema impossível.

Ao observar o sistema escalonado, ele será impossível caso apareçam contradições, como por exemplo:
$$0 x + 0y + 0y = 5 \\ \text{ou} \\
0 = 1$$

Caso o sistema seja quadrado $(n \times n)$ podemos classificá-lo como SI ao considerar alguns determinantes. Primeiramente, o determinante de $A$, a matriz dos coeficientes na definição matricial do sistema:
$$A \cdot x = b$$

Se $\det A = 0$ então o sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI). Para que seja SI, é suficiente que o determinante de alguma matriz parcial $(A_x, A_y, A_z, …)$ não seja nulo.

Obs.: $A_x$ é a chamada matriz parcial no método de Cramer. Nela, a coluna da incógnita $x$ foi substituída pela coluna dos termos independentes $b$. O mesmo vale para as outras (ver Regra de Cramer).

Graficamente, o sistema impossível é representado por um par de retas paralelas.