Teoria Sistema de 1º grau (linear)

O método de Cramer pode ser aplicado somente em sistemas quadrados ($n \times n$) baseia-se na forma matricial do sistema linear.
$$A \cdot x = b \\ \left ( \begin{array}{c c c} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \right) \cdot \left (\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array} \right )= \left (\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array} \right ) $$

Vale lembrar que a matriz $A$ é denominada matriz dos coeficientes e $b$ é o vetor dos termos independentes.

As incógnitas são determinadas pelos seguintes quocientes:
$$x = \frac{\det A_x}{\det A} \hspace{1cm} y = \frac{\det A_y}{\det A} \hspace{1cm} z = \frac{\det A_z}{\det A} ,$$

onde a matriz $A_x$ é aquela em que a coluna dos coeficientes do $x$ é substituída pelo vetor $b$.

$$A_x = \left ( \begin{array}{c c c} b_{1} & a_{12} & a_{13}\\
b_{2} & a_{22} & a_{23}\\
b_{3} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \right) $$

De maneira análoga determinamos as matrizes $A_y$ e $A_z$. Estas são denominadas matrizes das incógnitas.

Note que para que o sistema possua uma única solução, isto é, seja possível e determinado é necessário e suficiente que $\det A \neq 0$.

Caso $\det A = 0$ e todas as matrizes das incógnitas também possuírem determinante nulo, o sistema possui infinitas soluções, isto é, é possível e indeterminado.

Se $det A = 0$ e alguma matriz das incógnitas tiver determinante não-nulo então o sistema é impossível.

Iremos utilizar o método de Cramer para resolver o seguinte sistema:

$\left \{ \begin{array}{c c c}
x -2y + 2z &= &-9 \\
-x +3y -4z &= &9 \\
2x +y +2z &= &-6
\end{array} \right.
$

$\det A = \begin{array}{|r r r c|}
1 & -2 & 2 &\\
-1 &3 & -4 &\\
2 & 1 & 2 &
\end{array} = \begin{align} (6 +16 -2) & – (12 -4 + 4) = \\ 20& -12 = 8\end{align}$

$\det A_x = \begin{array}{|r r r c|}
-9 & -2 & 2 &\\
9 &3 & -4 &\\
-6 & 1 & 2 &
\end{array} = \begin{align} (-54 -48 +18) & – (-36 + 36 -36) = \\ -84& + 36 = -48\end{align}$

$\det A_y = \begin{array}{|r r r c|}
1 & -9 & 2 &\\
-1 & 9 & -4 & \\
2 & -6 & 2 &
\end{array} = \begin{align} (18 +72 +12) & – (36 + 24 + 18) = \\ 102& -78 = 24\end{align}$

$\det A_z = \begin{array}{|r r r c|}
1 & -2 & -9 &\\
-1 & 3 & 9 & \\
2 & 1 & -6 &
\end{array} = \begin{align} (-18 -36 + 9) & – (-54 + 9 -12) = \\ -45& + 57 = 12\end{align}$

\begin{align} &x = \frac{\det A_x}{\det A} = \frac{-48}{8} = -6 \\
&y = \frac{\det A_y}{\det A} = \frac{24}{8} = 3\\
&z= \frac{\det A_z}{\det A} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5
\end{align}

$$S = \left \{ \left(-6, 3, \dfrac{3}{2} \right) \right \} $$