Teoria Sistema de 1º grau (linear)

$\left \{
\begin{array}{c c c}
x + y + 2z &= &-7 \\
2x + y +z &= &-1 \\
3x -y -z &= &6
\end{array}
\right.$

Para resolver um sistema linear através do escalonamento é mais vantajoso trabalhar apenas com os coeficientes em uma matriz, em vez de carregarmos as letras em todas as operações necessárias.
$\left \{
\begin{array}{c c c}
x + y + 2z &= &-7 \\
2x + y +z &= &-1 \\
3x -y -1z &= &6
\end{array}
\right. \quad \quad \Rightarrow
\quad \left (
\begin{array}{c c c c}
1 & 1 & 2 & -7 \\
2 & 1 & 1 & -1 \\
3 & -1 & -1 & 6
\end{array}
\right)$

Uma matriz escalonada é aquela em que todos os valores abaixo da diagonal principal valem zero. Destacamos em azul os valores da diagonal principal e em vermelho os valores que deverão ser zerados. As linhas serão indicadas por $L_1, L_2, L_3$.
$$\left (
\begin{array}{c c c c}
\color{blue}1 & 1 & 2 & -7 \\
\color{red}2 & \color{blue}1 & 1 & -1 \\
\color{red}3 & \color{red}{-1} & \color{blue}{-1} & 6
\end{array}
\right) \begin{align}L_1 \\ L_2 \\ L_3\end{align}$$

No escalonamento de matrizes valem as seguintes regras:

• trocar linhas de posição
• multiplicar ou dividir todos os elementos de uma linha por um número real
• somar ou subtrair linhas

É recomendado que primeiro sejam anulados os elementos da coluna 1, depois os da coluna 2 e assim por diante.

Para anular o $2$, por exemplo, não basta fazer a subtração $L_1 – L_2$ pois o resultado do elemento desta posição seria $2 – 1 =1$.

A operação que irá anular o $2$ será $L_1 – 2L_2$.
$$\left (
\begin{array}{c c c c}
1 & 1 & 2 & -7 \\
2 & 1 & 1 & -1 \\
3 & -1 & -1 & 6
\end{array}
\right) \begin{array}{c} L_2 – 2L_1 \end{array} \Rightarrow
\left (
\begin{array}{c c c c}
1 & 1 & 2 & -7 \\
2-2 & 1 -2 & 1 – 4 & -1 +14 \\
3 & -1 & -1 & 6
\end{array} \right)$$

$$\left ( \begin{array}{c c c c}
1 & 1 & 2 & -7 \\
0 & -1 & -3 & 13 \\
3 & -1 & -1 & 6
\end{array} \right)$$
Repare que na operação de linhas multiplicamos $L_1$ por $(-2)$, mas apenas para somar com $L_2$, por isso ela não aparece modificada.

Prosseguindo o escalonamento:
$$\left ( \begin{array}{c c c c}
1 & 1 & 2 & -7 \\
0 & -1 & -3 & 13 \\
3 & -1 & -1 & 6
\end{array} \right)
\begin{align}
\\
\\
L_3 – 3L_1 \\ \end{align}$$

$$\left ( \begin{array}{c c c c}
1 & 1 & 2 & -7 \\
0 & -1 & -3 & 13 \\
3-3 & -1-3 & -1-6 & 6+21
\end{array} \right) \Rightarrow \left ( \begin{array}{c c c c}
1 & 1 & 2 & -7 \\
0 & -1 & -3 & 13 \\
0 & -4 & -7 & 27
\end{array} \right)$$

Para zerar o elemento $-4$ na posição $a_{32}$ utilizaremos a $L_2$ pois, do contrário, o elemento $a_{31}$ deixará de ser nulo.
$$\left ( \begin{array}{c c c c}
1 & 1 & 2 & – 7 \\
0 & -1 & -3 & 13 \\
0 & -4 & -7 & 27
\end{array} \right) \begin{array}{c} \\ \\
L_3 – 4L_2
\end{array}$$ $$\left ( \begin{array}{c c c c}
1 & 1 & 2 & -7 \\
0 & -1 & -3 & 13 \\
0-0 & -4+4 & -7+12 & 27 – 52
\end{array} \right) \Rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -7 \\
0 & -1 & -3 & 13 \\
0 & 0 & 5 & -25
\end{pmatrix}$$

Esta é a matriz escalonada do sistema. Percebam que nenhuma equação foi anulada e não apareceram contradições (do tipo $0 = 1$), portanto o sistema é possível e determinado. Retornando os coeficientes ao sistema teremos:

$$\left \{ \begin{array}{r c c}
x + y + 2z &= &-7 \\
-y -3z &= &13 \\
5z &= &-25
\end{array} \right . $$

A terceira equação já pode ser resolvida:
\begin{align}
5z &= -25 \\
z &= -\frac{25}{5} = -5
\end{align}

Com o valor de $z$ podemos resolver a segunda:
\begin{align}
-y -3\cdot(-5) &= 13 \\
-y +15 &= 13 \\
-y &= 13-15 \\
-y &= -2 \\
y &= 2
\end{align}

Por último podemos resolver a primeira equação:
\begin{align}
x + (2) +2(-5) &= -7 \\
x + 2 -10 &=-7 \\
x -8 &= -7 \\
x &= -7 +8 \\
x &= 1
\end{align}

Portanto, o conjunto solução deste sistema é:
$$S = \{(1, 2, -5) \}$$