Teoria Sistema de 1º grau (linear)

$\left \{
\begin{array}{c c c}
x + y + z &= 0 \hspace{1.5cm} &\text{I} \\
-2x -3y -4z &= -5 \hspace{1.5cm} &\text{II} \\
3x – 5y + 7z &= 0 \hspace{1.5cm} &\text{III}
\end{array}
\right.$

O método da substituição consiste, primeiramente, em escolher uma incógnita em uma das equações para ser isolada. Por conveniência, a equação $\text{I}$ será escolhida e a incógnita isolada será $z$:

$$\hspace{-5cm}\text{I} \hspace{5cm} z = -x – y$$

Substituiremos $z$ pela expressão encontrada nas duas outras equações (lembrando o uso dos parênteses):

$\left \{
\begin{array}{c c}
-2x -3y -4(-x-y) &= -5 \\
3x – 5y + 7(-x-y) &= -0
\end{array}
\right.$

$\left \{
\begin{array}{c c}
-2x -3y +4x + 4y &= -5 \\
3x – 5y\; – 7x -7y &= 0
\end{array}
\right.$

$\left \{
\begin{array}{c c c}
2x + y &= -5 \hspace{1.5cm} &\text{II}\\
-4x -12y &= 0 \hspace{1.5cm} &\text{III}
\end{array}
\right.$

O sistema $3 \times 3$ foi convertido em $2 \times 2$. Novamente escolheremos uma equação e uma incógnita para ser isolada. Por conveniência, a incógnita $y$ na equação $\text{II}$ será escolhida.

$$\hspace{-4.5cm}\text{II} \hspace{4.5cm} y = -5 -2x$$

Substituiremos $y$ pela expressão encontrada na equação $\text{III}$, a única restante.
\begin{align}
-4x -12(-5 -2x) &= 0 \\
-4x +60 +24x &= 0 \\
20x &= -60 \\
x &= -\frac{60}{20} = -3
\end{align}

Com o valor de $x$ podemos retornar à equação $\text{II}$ em que o $y$ foi isolado:
\begin{align}
y &= -5 -2(-3) \\
y &= -5 +6 \\
y &= 1
\end{align}

E finalmente retornamos à equação $\text{I}$ em que o $z$ foi isolado:
\begin{align}
z &= -(-3) – (1) \\
z &= 3 -1 \\
z&= 2
\end{align}

Portanto, o conjunto solução do sistema é:
$$S = \{-3, 1, 2\}$$