Teoria Sistema de 1º grau (linear)

Para sistemas indeterminados não é possível expressar uma solução única, mas podemos expressar uma solução geral, isto é, uma solução que depende de uma ou mais variáveis.

Utilizaremos o seguinte sistema indeterminado a seguir como exemplo para explicar o processo para encontrar uma solução geral:

$\left \{ \begin{array}{c c c}
x – y + 3z &=& 1 \\
x + y + z &=& -3 \\
2x -y + 5z &=& 0
\end{array}\right.$

Iremos escalonar este sistema para descartar uma das equações e seguir com o que restar:

$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 1 & -3 \\
2 & -1 & 5 & 0
\end{pmatrix} \begin{array}{c} \\ L_2 – L_1 \\ L_3 – 2L_1\end{array} \Rightarrow \begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & 1 \\
1-1 & 1+1 & 1-3 & -3-1 \\
2-2 & -1 +2 & 5 -6& 0 -2
\end{pmatrix} \Rightarrow \\
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & 1 \\
0 & 2 & -2 & -4 \\
0 & 1 & -1& -2
\end{pmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ L_3 – 2L_2\end{array} \Rightarrow \begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & 1 \\
0 & 2 & -2 & -4 \\
0 & 0 & 0& 0
\end{pmatrix}$$

Observe que a terceira equação foi anulada. Iremos retornar os coeficientes para o sistema:

$\left \{ \begin{array}{r c c}
x – y + 3z &=& 1 \\
2y- 2z &=& -4
\end{array}\right.$

O procedimento agora é utilizar uma das incógnitas como parâmetro. É comum substituir esta incógnita por outra letra, como “$t$”, “$m$” ou até mesmo letras gregas como “$\lambda$” e “$\mu$”. A quantidade de parâmetros necessários tem o mesmo valor do grau de liberdade do sistema.

Como neste caso temos $2$ equações para $3$ incógnitas, o grau de liberdade é $1$. Utilizaremos $z$ como parâmetro:
$$z = t, \; t \in \mathbb{R}$$

Substituimos na segunda equação e isolamos $y$:

\begin{align}
2y- 2t &= -4 \\
2y &= 2t – 4 \quad \div(2)\\
y &= t – 2
\end{align}

Agora substituímos as duas expressões na primeira equação e isolamos $x$:

\begin{align}
x – (t – 2) + 3t &= 1\\
x – t + 2 + 3t &= 1 \\
x + 2t + 2 &= 1 \\
x &= 1 – 2 -2t \\
x &= -1 -2t
\end{align}

A solução geral fica escrita da seguinte maneira:
$$S = \{ -1-2t; t-2; t \}, \quad t \in \mathbb{R}$$