Teoria Sistema de 1º grau (linear)

O método de Cramer pode ser aplicado somente a sistemas quadrados $(n \times n)$ e baseia-se na forma matricial do sistema linear.
$$A \cdot x = b \\ \left ( \begin{array}{c c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) \cdot \left (\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right )= \left (\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right ) $$

Vale lembrar que a matriz $A$ é denominada matriz dos coeficientes e $b$ é o vetor dos termos independentes.

As incógnitas $x$ e $y$ são determinadas pelos seguintes quocientes:
$$x = \frac{\det A_x}{\det A} \hspace{2cm} y = \frac{\det A_y}{\det A} ,$$

onde a matriz $A_x$ é aquela em que a coluna dos coeficientes do $x$ é substituída pelo vetor $b$. O mesmo vale para a matriz $A_y$. Estas são denominadas matrizes parciais.

$$A_x = \left ( \begin{array}{c c}
b_1 & a_{12} \\
b_2 & a_{22}
\end{array}\right) \hspace{2cm} A_y = \left ( \begin{array}{c c}
a_{11} & b_1 \\
a_{21} & b_2
\end{array}\right) $$

Note que para que o sistema possua uma única solução, isto é, seja possível e determinado é necessário e suficiente que $\det A \neq 0$.

Caso $\det A = 0$ e $\det A_x = 0$ e $\det A_y = 0$, o sistema possui infinitas soluções, isto é, é possível e indeterminado.

Se $det A = 0$ e $\det A_x \neq 0$ ou $\det A_y \neq 0$ então o sistema é imposível.

Vamos utilizar o método de Cramer para resolver o seguinte sistema:

$\left \{ \begin{array}{c c}
x + 2y & = &2 \\
3x +4y & = &1
\end{array} \right.$

$$\det A = \begin{array}{| c c |}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} = 1\cdot 4 – 2 \cdot 3 = 4 – 6 = -2$$ $$\det A_x = \begin{array}{| c c |}
2 & 2 \\
1 & 4
\end{array} = 2\cdot 4 – 2 \cdot 1 = 8 – 2 = 6$$ $$\det A_y = \begin{array}{| c c |}
1 & 2 \\
3 & 1
\end{array} = 1\cdot 1 – 2 \cdot 3 = 1 – 6 = -5$$

$$x = \frac{\det A_x}{\det A} = \frac{6}{-2} = -3 \\ y = \frac{\det A_x}{\det A} = \frac{-5}{-2} = 2,5$$

Portanto, $S = \{(-3; 2,5) \}$