Teoria Trigonometria no ciclo trigonométrico

Uma das coisas que podemos fazer com todas as relações que estudamos é verificar identidades trigonométricas. A palavra “identidade”, neste caso, é utilizada com o sentido de “idêntico”, “igual”, não tem nada a ver com o seu RG.

Ou seja, as identidades trigonométricas são equações que utilizam as razões trigonométricas.

Para demonstrar que uma equação $A = B$ é verdadeira podemos:

• desenvolver a expressão $A$ até chegar em $B$;
• desenvolver a expressão $B$ até chegar em $A$;
• desenvolver ambas as expressões e chegar no mesmo resultado, i.e., $cos\ x = cos\ x$ ou então $1 = 1$ ou $0 = 0$.
• etc

Veja abaixo alguns exemplos de como demonstrar estas identidades trigonométricas.

Vamos demonstrar que $cos ^2 x = \large \frac{cotg^2x}{1 + cotg^2 x} $

Dado que:

\begin{align}
cotg\ x &= \frac{cos\ x}{ sen\ x}
\end{align}

Vamos substituir no lado esquerdo da identidade dada:

\begin{align}
cos ^2 x = \large \frac{ \frac{cos ^2 x}{sen^2 x}}{1 + \large \frac{cos^2 x}{sen^2 x}}
\end{align}

Primeiro, vamos calcular a soma de frações no denominador:

\begin{align}
cos ^2 x = \large \frac{ \frac{cos ^2 x}{sen^2 x}}{\large \frac{sen^2 x + cos^2 x}{sen^2 x}}
\end{align}

Lembrando da Identidade Trigonométrica Fundamental:

\begin{align}
sen^2 x + cos^2 x &= 1
\end{align}

Vamos substituí-la na equação e efetuar a divisão de frações

$$
cos ^2 x = \dfrac{ \frac{cos ^2 x}{sen^2 x}}{\frac{1}{sen^2 x}} \\
cos^2 x = \dfrac{cos^2x}{sen^2x} \cdot \dfrac{sen^2x}{1} \\
cos ^2 x = \dfrac{ cos^2 x}{1} \\
cos ^2 x = cos^2 x
$$

Obs.: neste caso, para provar que $A = B$, desenvolvemos $B$ até chegar em $A$.

Iremos demonstrar que $tg\ x + cotg\ x = sec\ x \cdot cossec\ x $.

Considere:
$$\underbrace{tg\ x + cotg\ x}_{A} = \underbrace{sec\ x \cdot cossec\ x}_{B} $$

O plano será desenvolver $A$ até chegar em $B$.

Sabendo que

$$
tg\ x = \frac{sen\ x}{ cos\ x}
$$

E ainda,

$$
cotg \ x = \frac{cos\ x}{ sen\ x}
$$

Vamos substituir no lado esquerdo da identidade dada e calcular a soma de frações:

\begin{align}
\frac{sen\ x}{cos\ x} + \frac{cos\ x}{sen\ x} &= \frac{sen^2x + cos^2x}{cos\ x \cdot sen\ x}
\end{align}

Usando a Identidade Trigonométrica Fundamental :

\begin{align}
sen^2x + cos^2x &=1
\end{align}

Vamos substituí-la na identidade dada:

$$
\frac{sen^2x + cos^2x}{cos\ x \cdot sen\ x} = \frac{1}{cos\ x \cdot sen\ x}= \\ = \frac{1}{cos\ x} \cdot \frac{1}{sen\ x} = sec\ x \cdot cossec\ x
$$

Logo,

\begin{align}
tg\ x + cotg\ x &= sec\ x \cdot cossec\ x
\end{align}

Neste exemplo vamos provar que $tg\ x + \dfrac{cos\ x}{1 + sen\ x} = sec\ x$

Considere que:

$$\underbrace{tg\ x + \dfrac{cos\ x}{1 + sen\ x}}_{A} = \underbrace{sec\ x}_{B}$$

Vamos desenvolver $A$ e chegar em $B$.

Sabendo que

$$
tg \ x = \dfrac{sen\ x}{ cos\ x}
$$

Vamos substituir em $A$:

\begin{align}
\dfrac{sen\ x}{ cos\ x} + \dfrac{cos\ x}{1 + sen\ x} \\
\end{align}

Agora, vamos calcular o $ M M C$ entre $cos\ x$ e $ 1 + sen\ x$ e somar as frações. Vamos lá !

$$
\dfrac{sen\ x}{ cos\ x} + \frac{cos\ x}{1 + sen\ x} = \dfrac{(sen\ x) \cdot (1 + sen\ x) + (cos\ x) \cdot (cos\ x)}{(cos\ x) \cdot (1 + sen\ x)} = \\
= \frac{(sen\ x + sen^2x) + (cos^2 x)}{(cos\ x) \cdot (1 + sen x)} =\\
= \frac{sen\ x + sen^2x + cos^2 x}{(cos\ x) \cdot (1 + sen\ x)} \\
$$

E aplicando a Identidade trigonométrica fundamental,

$$\frac{sen\ x + sen^2x + cos^2 x}{(cos\ x) \cdot (1 + sen\ x)} = \frac{sen\ x + 1}{(cos\ x) \cdot (1 + sen\ x)} = \\
= \frac{(1 + sen\ x)}{(cos\ x) \cdot (1 + sen\ x)}
$$

E simplificando a equação acima,

$$
\frac{(1 + sen\ x)}{(cos\ x) \cdot (1 + sen\ x)} = \frac{1}{cos x} = sec\ x
$$

Ou seja,

$$tg\ x + \dfrac{cos\ x}{1 + sen\ x} = sec\ x$$