Teoria Trigonometria no ciclo trigonométrico

Existem outras relações trigonométricas baseadas nas relações que já estudamos:

• Secante

\begin{align}
\text{sec $\alpha$ } &= \frac{ 1}{ \text{cos $\alpha$ }}
\end{align}

• Cossecante

\begin{align}
\text{cossec $\alpha$ } &= \frac{1}{ \text{sen $\alpha$ }}
\end{align}

• Cotangente

\begin{align}
\text{cotg $\alpha$ } &= \frac{ \text{cos $\alpha$ }}{ \text{sen $\alpha$ }}
\end{align}

Usando as relações acima, encontramos algumas outras relações decorrentes da identidade fundamental:

\begin{align}
\text{sec}^2 \alpha &= 1 + \text{tg}^2 \alpha
\end{align}

\begin{align}
\text{cossec}^2 \alpha &= 1 + \text{cotg}^2 \alpha
\end{align}

Sabendo que $cos\ x = \dfrac{1}{3}$ e que $x$ é um ângulo agudo, determine $tg\ x$.

Não existe uma relação direta entre o cosseno e a tangente de um mesmo ângulo, mas existe uma relação entre a secante e a tangente de um ângulo:

$$tg^2 x + 1 = sec^2x$$

E se $cos\ x = \dfrac{1}{3}$, basta inverter este valor para obter a secante:

$$sec\ x = \dfrac{1}{cos\ x} = \dfrac{1}{\frac{1}{3}} = 1 \cdot \dfrac{3}{1} = 3$$

Agora vamos utilizar a relação entre secante e tangente:

$$tg^2 + 1 = 3^2 \\
tg^2x = 9- 1 \\
tg^2x = 8 \\
tg\ x = \pm \sqrt{8} \\
tg\ x = \pm 2\sqrt{2}$$

Como $x$ é um ângulo agudo, sua tangente tem valor positivo e portanto:

$$tg\ x = 2 \sqrt{2}$$