Teoria Polinômios

Há uma outra maneira de dividir um polinômio $f(x)$ por um $g(x)$ e obter um quociente $q(x)$ e um resto $r(x)$. Este método se utiliza da identidade de polinômios e se baseia no fato de que o grau do resto deve ser menor do que o do divisor.

Observe um exemplo de como o método funciona. Iremos dividir $f(x) = x^3 + 4x- 1$ por $g(x) = x^2 – x$.

Como o dividendo possui grau $3$ e o divisor possui grau $2$, o quociente $q(x)$ terá grau $1$, que é esta diferença entre os graus. Assim, representamos $q(x)$ como um polinômio de grau $1$ genérico:

$$q(x) = ax + b$$

O resto $r(x)$ terá grau $1$ ou menor, pois o divisor possui grau $2$. Portanto, representamos como:

$$r(x) = mx + n$$

É importante não usar as mesmas letras para $q$ e $r$, pois os coeficientes não são necessariamente iguais.

Agora, lembre-se da seguinte igualdade:

$$f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$$

Iremos substituir as expressões que temos até agora e resolver a identidade de polinômios:

\begin{align}
x^3 + 4x- 1 &= (x^2- x ) (ax + b) + (mx + n) \\
x^3 + 4x- 1 &= ax^3 + bx^2- ax^2- bx + mx + n \\
1x^3 + 4x- 1 &= ax^3 + x^2 (b- a) + x (- b+m) + n
\end{align}

As equações que extraímos da igualdade de polinômios são:

$$ \left \{ \begin{array}{r c l c}
a &=& 1 & \qquad I \\
b- a & =& 0 & \qquad II \\
- b + m &=& 4 & \qquad II I \\
n &=&- 1 & \qquad I V
\end{array} \right.$$

As equações $I$ e $IV$ já trazem resultados imediatos. Levando o resultado de $I$ em $II$ obtemos o seguinte:

$$b- 1 = 0 \\ b = 1$$

E levando este resultado em $II I$:

$$-1 + m = 4 \\ m = 5$$

Desta forma, o quociente que era $q(x) = ax = b$ passa a ser:

$$q(x) = 1x + 1 = x+1$$

E o resto $r(x) = mx + n$ passa a ser:

$$r(x) = 5x + 1$$

Iremos fazer outro exemplo passo-a-passo. Neste, iremos dividir $2x^4- 6x + 1$ por $x^2 + 2$.

Como o grau do dividendo é $4$ e o grau do divisor é $2$, então o grau do quociente é $4- 2 = 2$. Iremos representá-lo com coeficientes desconhecidos:

$$q(x) = ax^2 + bx + c$$

Como o quociente possui grau $2$, o resto possui grau $1$ no máximo. Representando-o de maneira genérica, temos:

$$r(x) = mx + n$$

Não utilizamos as mesmas letras para o resto e o quociente porque os coeficientes não são iguais necessariamente.

Agora, utilizamos a igualdade que a divisão deve obedecer: o dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente, somado ao resto.

Substituímos os polinômios conhecidos e resolvemos a igualdade de polinômios:

\begin{align}
f(x) &= g(x) \cdot q(x) + r(x) \\
2x^4- 6x + 1&= (x^2 + 2) \cdot (ax^2 + bx + c) + (mx + n) \\
2x^4- 6x + 1 &= ax^4 + bx^3 + cx^2 + 2a x^2 + 2bx + 2c + mx + n \\
2x^4- 6x + 1 &= ax^4 + bx^3 + x^2 (c + 2a) + x (2b + m) + 2c + n
\end{align}

Da igualdade obtemos as seguintes equações:

\begin{cases}
a = 2 \\
b = 0 \\
2a+ c = 0 \\
2b+m =- 6 \\
2c + n = 1
\end{cases}

As duas primeiras equações são imediatas. Substituindo $a = 2$ na 3ª equação teremos:

$$2 \cdot 2 + c = 0 \\ 4 + c = 0 \\ c =- 4$$

Substituindo $b = 0$ na 4ª equação, teremos:

$$2 \cdot 0 + m = – 6 \\ m = – 6$$

Substituindo $c =- 4$ na 5ª equação, teremos:

$$2 \cdot (-4) + n = 1 \\ -8 + n = 1 \\ n = 9$$

Portanto, o quociente que antes era representado por $q(x) = ax^2 + bx + c$, agora fica:

$$q(x) = 2x^2 + 0 x- 4 = 2x^2- 4$$

E o resto fica:

$$r(x) = -6x + 9$$