Teoria Polinômios

Para multiplicar polinômios basta fazer multiplicações algébricas através da distribuição dos termos.

Considere os polinômios $p(x)$ e $q(x)$; o produto de dois polinômios continua sendo um polinômio e é denotado da seguinte maneira:

$$p(x) \cdot q(x) = (pq)(x)$$

O grau do produto de polinômios apresenta uma relação com os graus dos fatores.

Sejam $p(x)$ de grau $n$ e $q(x)$ de grau $m$ dois polinômios. Então o grau do produto $pq(x)$ é a soma dos graus: $m + n$.

Exemplos

1. Se $p(x) = x^2 + 4$ e $q(x) = -x^3 + x$ então o polinômio $pq(x)$ terá grau $2 + 3 = 5$.

2. Se o grau de $p(x)$ é $5$ e $pq(x)$ tem grau $7$, então $q(x)$ tem grau $7- 5 = 2$.

Considere os polinômios:

• $m(x) = 4x^2 – 3$
• $n(x) = x + 2$

Iremos determinar o produto $m \cdot n$. Lembre-se de efetuar as devidas distribuições:

$$m(x) \cdot n(x) = \\
= (4x^2- 3 )(x+2) = \\
= 4x^3 + 8x^2- 3x- 6$$

A conta já se encerra aqui, pois não tem como somar nenhuma das parcelas.

Observe que o grau do produto é $3 = 2 + 1$.

Considere os polinômios:

• $p(x) = 2x^3- 5x – 6$
• $q(x) = x^2 + 1$

Iremos determinar o produto $pq(x)$. Devemos escrever os polinômios entre parênteses e multiplicá-los, fazendo as devidas distribuições.

\begin{align}
pq(x) &= (2x^3- 5x- 6)(x^2+1) \\
&= 2x^5 + 2x^3-5x^3- 5x- 6x^2- 6 \\
&= 2x^5- 3x^3- 6x^2- 5x- 6
\end{align}

Neste exemplo iremos estudar o seguinte caso: conhecemos o produto de dois polinômios e um de seus fatores; iremos determinar o outro fator.

Se $p(x) = x^3- 2x + 3$ e $pq(x) = x^4 + 2x^3- 2x^2- x + 6$, apresente o polinômio $q(x)$.

Primeiro, repare nos graus envolvidos:

• grau de $p$: $3$
• grau de $pq: $4$

Se o grau aumentou de $3$ para $4$, portanto o polinômio $q$ tem grau $4-3=1$. Assim, podemos representar $q(x)$ como:

$$q(x) = a_1x + a_0$$

Iremos utilizar esta expressão na igualdade:

$$p(x) \cdot q(x) \equiv pq(x)\\
( x^3- 2x + 3)(a_1 x + a_0) \equiv x^4 + 2x^3- 2x^2- x + 6$$

Iremos distribuir e resolver a igualdade de polinômios:

\begin{align}
( x^3- 2x + 3)(a_1 x + a_0) &\equiv x^4 + 2x^3- 2x^2- x + 6 \\
a_1 x^4 + a_0 x^3- 2a_1x^2- 2a_0x + 3a_1x + 3a_0 &\equiv x^4 + 2x^3- 2x^2- x + 6 \\
\end{align}

Igualando os coeficientes de $x^4$ obteremos o valor de $a_1$:

\begin{align}
a_1 = 1
\end{align}

E igualando os coeficientes de $x^3$, obteremos $x_0$:

\begin{align}
a_0 = 2
\end{align}

As demais igualdades são redundantes, iríamos obter os mesmos resultados. Portanto, o polinômio procurado é:

$$q(x) = 1x + 2 = x + 2$$

Observação

Também podemos resolver este problema como uma equação:

$$p(x) \cdot q(x) = pq(x) \\ q(x) = \dfrac{pq(x)}{p(x)}$$

O que motiva o estudo de uma divisão de polinômios.

Considere dois polinômios $p(x)$ e $q(x)$. Se $x_0$ é raiz de $p(x)$ então também é raiz do produto $pq(x)$.

Exemplo

Para determinar as raízes do polinômio $p(x) = 3(x- 2)(x+1)(x- 3)$ basta determinar as raízes de cada um dos fatores:

$$ x-2 = 0 \\ x = 2$$

$$x+1 = 0 \\ x =- 1$$

$$x- 3 = 0 \\ x = 3$$

Portanto as raízes de $p(x)$ são $2$, $-1$ e $3$.