Teoria Polinômios

Dizemos que um valor $x = x_0$ é raiz de um polinômio $p(x)$ se e somente se

$$p(x_0) = 0, $$

ou seja, se o valor numérico de $p(x)$ em $x_0$ é $0$.

Observe o polinômio $q(x) = x^5- 2x^3- 4x^2$ da seção anterior. Os valores $x=0$ e $x=2$ são raízes de $q(x)$.

• $x = 0$
  \begin{align}
  p(0) &= 0^5- 2\cdot 0^3- 4 \cdot 0^2 \\
  &= 0- 2 \cdot 0- 4 \cdot 0 \\
  &= 0
  \end{align}

• $x = 2$
  \begin{align}
  p(2) &= 2^5- 2 \cdot 2^3- 4 \cdot 2^2 \\
  &= 32- 2 \cdot 8- 4 \cdot 4 \\
  &= 32- 16- 16\\
  &= 0
  \end{align}

O número $x=-3$ é raiz de $p(x) = x^3 + 9x^2 + 22x + 12$.

• $x =-3$
  \begin{align}
  p(-3) &= (-3)^3 + 9(-3)^2 + 22 (-3) + 12 \\
  &= – 27 + 9 \cdot 9- 66 + 12 \\
  &=- 27 + 81- 54 \\
  &=- 81 + 81 = 0
  \end{align}

Qual deve ser o valor de $k$ para que $x=2$ seja raiz de $p(x) = x^3 + kx- 6$?

Se $x=2$ é raiz de $p(x)$, então $p(2)$ deve resultar em $0$.

\begin{align}
p(2) = 2^3 + k \cdot 2- 6 &= 0\\
8+ 2k- 6 &= 0\\
2 + 2k &= 0 \\
2k &=- 2\\
k &= – \dfrac{2}{2}\\
k &=- 1
\end{align}

Considere um polinômio $p(x)$ com coeficientes reais. Se $p(x)$ possuir alguma raiz inteira, ela é um divisor de seu termo independente.

Exemplo:

Considerando o polinômio

$$p(x) = x^3- x^2- 4x- 6 $$

os candidatos serem raiz são os divisores do $- 6$, ou seja:

$$-1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6$$