Teoria Polinômios

Somar ou subtrair polinômios nada mais é do que realizar operações algébricas.

Considere os polinômios $p(x)$ e $q(x)$; a soma (ou a diferença) de dois polinômios continua sendo um polinômio e é denotada da seguinte maneira:

$$p(x) + q(x) = (p+q)(x) \text{ ou} \\
p(x)- q(x) = (p- q)(x)$$

Somar polinômios não faz com que o grau aumente. Se, por exemplo, o grau de $p$ é $3$ e o grau de $q$ é 2, o grau de $(p+q)$ é no máximo $3$, podendo até ser nulo.

Considere os polinômios

• $p(x) = 4x^5 + 7x^3 – 9x + 2 $ e
• $q(x) = x^5 + 2x^4- 7x^3 + 5x$

Iremos determinar $(p+q)(x)$; lembre-se de que só fazemos somas entre as potências de $x$ com mesmo expoente: por exemplo $x^5$ não soma com $x^4$.

$$p(x) + q(x) = \\
= 4x^5 + 7x^3- 9x + 2 + x^5 + 2x^4- 7x^3 + 5x = \\
= 4x^5 + x^5 + 2x^4 + 7x^3- 7x^3- 9x + 5x + 2 = \\
5x^5 + 2x^4- 4x + 2 $$

Obs.: O grau da soma continua $5$.

Considere os polinômios

• $p(x) = 4x^5 + 7x^3 – 9x + 2 $ e
• $q(x) = x^5 + 2x^4- 7x^3 + 5x$

Iremos determinar $(p-q)(x)$. Para fazer essa diferença, deixe $q(x)$ entre parênteses e distribua o sinal de $-$.

$$(p-q)(x) = \\
= 4x^5 + 7x^3- 9x + 2 – (x^5 +2x^4- 7x^3 + 5x) = \\
= 4x^5 + 7x^3- 9x + 2- x^5- 2x^4 + 7x^3- 5x = \\
= 4x^5- x^5- 2x^4 + 7x^3 + 7x^3- 9x- 5x + 2 = \\
= 3x^5- 2x^4 + 14x^3 -14x + 2$$

Considere os seguintes polinômios:

• $p(x) = 2x^2 + 4x$
• $q(x) = – 2x^2 + x- 6$

Iremos determinar $(p+q)(x)$:

$$(p+q)(x) = \\
= 2x^2 + 4x- 2x^2 + x- 6 = \\
= 2x^2-2x^2 + 4x + x- 6 = \\
= 5x- 6$$

Obs.: o grau dos polinômios $p$ e $q$ é $2$, mas o grau da soma $p+q$ é $1$.