Teoria Polinômios

Conheça abaixo alguns elementos importantes dos polinômios.

O grau do polinômio já faz parte de sua definição: é o maior dos expoentes da variável na expressão.

$$p(x) = a_n x^{\color{blue}{n}} + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$$

Exemplos

• O grau de $p(x) = x^6 + 40 x^3 + 2015$ é $6$

• O grau de $q(x) = 5x- 2^{10}$ é $1$, pois é o maior expoente de $x$.

• O grau de $r(x) = -8x^3$ é $3$.

• O grau de $s(x) = 15$ é $0$, pois a variável não aparece (ela foi elevada a $0$).

O coeficiente dominante, na definição do polinômio, é o termo $a_n$:

$$p(x) = \color{red}{a_n} x^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$$

Se o grau de um polinômio é $n$ então $a_n \neq 0$, senão ele iria multiplicar $x^n$ e iria zerá-lo, fazendo com que o grau não fosse mais $n$.

Quando o coeficiente dominante de um polinômio é $1$, chamamos esse polinômio de mônico

Exemplos

• O coeficiente dominante de $p(x) = 4x^3 + 5x + 20$ é $4$

• O coeficiente dominante de $q(x) = 5 – x^2$ é $-1$.

• O coeficiente dominante de $m(x) = 19$ é $19$.

O termo independente do polinômio é o coeficiente $a_0$ da definição:

$$p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_2 x^2 + a_1 x + \color{green}{a_0}$$

Ou seja, é o valor que não acompanha nenhuma potência de $x$.

Exemplos

• O termo independente de $p(x) = x^2 + 3x – 5$ é $-5$.

• O termo independente de $q(x) = -4x^7 + 202 x + 12$ é $12$.

• O termo independente de $r(x) = x^3 – 5 x^2 + 3 x$ é $0$.

O polinômio nulo é da seguinte forma:

$$p(x) = 0$$

Ou seja, seu valor é $0$ para qualquer $x$.