Teoria Polinômios

Uma equação polinomial é uma equação na forma
$$a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = $$
na incógnita $x$.

Exemplo: Considere a equação quadrática $ax^2 + bx + c = 0$. Pelo método de Báskara, as raízes de $p(x)$ são
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\;\;\text{ e }\;\;x_2 = \frac{-b – \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

Dessa forma,
$$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}$$
e
$$
\begin{align}
x_1\cdot x_2 &= \left ( \frac{-b + \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\right )\cdot \left ( \frac{-b – \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\right)=\\
& = \frac{b^2 – (\sqrt{b^2 – 4ac})^2}{4a^2} = \frac{b^2 – b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}.
\end{align}
$$

Sejam $p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_1 x + a_0$ e $x_1,\dots, x_n$ suas raízes (que podem ser reais ou complexas). Então:
$$ x_1 + x_2 + \dots + x_n =\ \frac{-a_{n-1}}{a_n}, $$

$$
\begin{align}
\sum_{ 1 \leq i < j\leq n} x_i x_j &= \\
& = x_1 x_2 + x_1 x_3 + \dots x_1 x_{n-1} + x_1 x_{n} + \\
& + x_2 x_3 + x_ 2 x_ 4 + \dots x_2 x_{n-1} + x_2 x_{n} + \\
&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots\\
& + x_{n-2} x_{n-1} + x_{n-2}x_n + x_{n-1} x_n =\ \frac{a_{n-2}}{a_n}
\end{align}
$$

A soma de todos os produtos de três raízes (sem repetições) é dado por $-a_{n-3}/a_n$. Progredindo até o produto das raízes, obtemos
$$x_1\cdot x_2\dots x_n =(-1)^n \frac{a_0}{a_n}.$$

Estas relações podem ser uteis no cálculo das raízes de um polinômio.

1. Qual a soma e o produto das raízes de $p(x) = 2x^3 – 16x^2 + 38x – 24$? Sejam $x_1, x_2$ e $x_3$ as raízes de $p(x)$.

\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-(-16)}{2} = 8;\\
x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{38}{2} = 19;\\
x_1 x_2 x_3 = \frac{-(-24)}{2} = 12.
\end{cases}

1. Qual a soma e o produto das raízes de $q(x) = x^3 – 12x^2 + 32x$? Sejam $x_1, x_2$ e $x_3$ as raízes de $q(x)$.

\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-(-12)}{1} = 12;\\
x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{32}{1} = 32;\\
x_1 x_2 x_3 = \frac{0}{1} = 0.
\end{cases}

Exemplo 1: Considere a equação $ax^2 + bx + c$ de raízes $x_1 e x_2$. Então,

$$S_1 = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}\;\;\text{ e }\;\; x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$.

Vamos obter $S_2 = x_1^2 + x_2^2$. Veja, primeiro, que
$$\left(\frac{b}{a}\right )^2=(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_ 1 x_2 + x_2^2 = S_2 + 2\frac{c}{a}.$$

Logo,
$$S_2 = \left(\frac{b}{a}\right)^2 – 2\frac{c}{a}.$$

Agora, calculemos a soma $S_3 = x_1^3 + x_2^3$. Veja que
$$\left(\frac{b}{a}\right )^3=(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2 x_2 + 3x_1 x_2^2 + x_2^3 =\\ S_3 + 3x_1 x_2 (x_1 + x_2)= S_3 + 3\frac{c}{a}\cdot \left(\frac{-b}{a}\right).$$

Assim, tem-se que
$$S_3 = \left(\frac{b}{a}\right )^3 + \frac{3bc}{a^2}.$$

Analogamente,
$$
\begin{align}
\left (\frac{b}{a}\right)^4 & = (x_1 + x_2)^4 = \\
& = x_{1}^{4} + 4x_{1}^{3}x_2 + 6x_1^2 x_2^2 + 4x_1 x_2^3 + x_2^4 = \\
& = x_1^4 + 2x_1 x_2 (2 x_1^2 + 3x_1 x_2 + 2x_2^2) + x_2^4 = \\
& = S_4 + 2\left(\frac{c}{a}\right)\left(2S_2 + 3\frac{c}{a}\right)
\end{align}
$$
Logo,
$$
S_4 = \left (\frac{b}{a}\right)^4 – 4\left ( \frac{cb^2}{2a^3}\right) + 2\left (\frac{2c^2}{a^2}\right)
$$

Exemplo 2
Seja $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ um polinômio do $3º$ grau e $x_1,x_2$ e $x_3$ suas raízes. Então,
$$S_1 = x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a}.$$

Assim, usando a relação de Girard:
$$
\begin{align}
\left(\frac{b}{a}\right)^2 & = (x_1 + x_2 + x_3)^2 = \\
& = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = \\
& = S_2 + 2\left(\frac{c}{a}\right),
\end{align}
$$
donde
$$S_2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = \left(\frac{b}{a}\right)^2 – 2\left(\frac{c}{a}\right) $$