Teoria Polinômios

O polinômio não deixa de ser uma função e, portanto, podemos substituir sua variável por valores reais (ou complexos) e obter seu valor numérico.

Seja $p(x)$ um polinômio.

$$p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$$

O valor numérico de $p(x)$ em $x=x_0$ é denotado por:

$$p(x_0) = a_n x_0^n + a_{n-1}x_0^{n-1} + … + a_2 x_0^2 + a_1 x_0 + a_0$$

Neste exemplo iremos determinar alguns valores numéricos de $p(x)$:

• $x = 2$
  \begin{align}
  p(2) &= 2^3 + 2\cdot 2^2- 2- 3 \\
  &= 8 + 2 \cdot 4- 5 \\
  &= 8 + 8- 5 \\
  &= 11
  \end{align}

• $x =- 3$

Neste caso, é preciso atenção com os sinais. Os sinais do polinômio são mantidos e $x$ é substituído por $-3$ entre parênteses, para que não haja erros de sinal.

\begin{align}
p(- 3) &= (- 3)^3 + 2\cdot (- 3)^2- (-3) – 3 \\
&=- 27 + 2 \cdot 9 +3- 3 \\
&=- 27 + 18 \\
&=- 9
\end{align}

• $x= 1$
  \begin{align}
  p(1) &= 1^3 + 2 \cdot 1^2- 1- 3 \\
  & = 1 + 2 \cdot 1- 4 \\
  & = 1 + 2- 4 \\
  &= -1
  \end{align}

• $x=0$
  \begin{align}
  p(0) &= 0^3 + 2 \cdot 0^2- 0- 3\\
  &= 0 + 2 \cdot 0- 3 \\
  &= 0 + 0- 3 \\
  &=- 3
  \end{align}

Neste exemplo iremos determinar alguns valores numéricos do polinômio $q(x)$ destacado acima:

• $x= 1$
  \begin{align}
  p(1) &= 1^5- 2\cdot 1^3- 4 \cdot 1^2 \\
  &= 1- 2 \cdot 1- 4 \cdot 1 \\
  &= 1- 2- 4 \\
  &=-5
  \end{align}

• $x = 0$
  \begin{align}
  p(0) &= 0^5- 2\cdot 0^3- 4 \cdot 0^2 \\
  &= 0- 2 \cdot 0- 4 \cdot 0 \\
  &= 0
  \end{align}

• $x = 2$
  \begin{align}
  p(2) &= 2^5- 2 \cdot 2^3- 4 \cdot 2^2 \\
  &= 32- 2 \cdot 8- 4 \cdot 4 \\
  &= 32- 16- 16\\
  &= 0
  \end{align}

Dado um polinômio $p(x)$, o valor numérico de $p(1)$ corresponde à soma dos coeficientes de $p(x)$.

$$p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0 \\
p(1) = a_n + a_{n-1} + a_1 + a_0$$

Dado um polinômio $p(x)$, o valor numérico de $p(0)$ corresponde ao termo independente de p(x).

$$p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0 \\
p(0) = a_0$$