Teoria Polinômios

Dizemos que dois polinômios $p(x)$ e $q(x)$ são idênticos ou equivalentes se e somente se, de maneira ordenada, seus coeficientes forem iguais:

$$p(x) \equiv q(x) \\
a_nx^n + … + a_1 x + a_0 \equiv b_n x^n + … + b_1x + b_0 \\
\begin{cases}
a_0 = b_0 \\
a_1 = b_1 \\
\vdots \\
a_n = b_n
\end{cases}$$

Os polinômios $p(x) = -3 + 5 x + 6x^2$ e $q(x) = -3x^2 + 5x + 6$ são idênticos?

Primeiro, iremos deixar os termos na mesma ordem.

$$p(x) = 6x^2 + 5x- 3 \\ q(x) = -3x^2 + 5x + 6$$

Agora é fácil observar que os polinômios não são equivalentes.

Verifique se os polinômios $p(x) = 3x^3 + 4 x^2 – 8$ e $q(x) = \dfrac{(3x + 1)(2x^2 + 2)}{2} – 3 (-x^2 + x + 3)$ são equivalentes.

Iremos desenvolver $q(x)$:

$$\dfrac{(3x + 1)(2x^2 + 2)}{2} – 3 (-x^2 + x + 3) = \\
= \dfrac{6x^3 + 6x + 2x^2 + 2}{2} + 3x^2- 3x- 9 = \\
= 3x^3 + 3x + x^2 + 1 + 3x^2 – 3x- 9 = \\
= 3x^3 + 4x^2 -8
$$

Portanto, $p$ e $q$ realmente são equivalentes.

Determine $a$ e $b$ a fim de que os polinômios $p(x) = x^3 + 4x + 5$ e $q(x) = x^3 + (b+a)x^2 + 2a x + 5$ sejam idênticos.

Primeiro, repare que os coeficientes do $x^3$ são iguais a $1$ e os termos independentes são iguais a $5$.

Perceba que não há $x^2$ no polinômio $p$, portanto seu coeficiente é $0$. Para que os polinômios sejam iguais, é necessário que os coeficientes do $x^2$ sejam iguais, assim como os do $x$.

Desta maneira, as igualdades ficam:

$$\left \{ \begin{array}{c c l c}
b + a &=& 0 &\qquad (I) \\
2a &=& 4 &\qquad (II)
\end{array} \right .$$

Resolvendo $II$:

\begin{align}
2a &= 4 \\
a &= \dfrac{4}{2} \\
a &= 2
\end{align}

Substituindo em $I$, podemos resolvê-la:

\begin{align}
b + a &= 0 \\
b + 2 &= 0 \\
b &= -2
\end{align}

Portanto, para que $p$ e $q$ sejam polinômios equivalentes, é necessário que $a = 2$ e $b = -2$.