Teoria Cônicas

Se o centro de uma cônica não for a origem, dizemos que a cônica está transladada.

Se o centro da elipse for o ponto $C=(x_o, y_o)$ e seu eixo maior for paralelo ao eixo $x$, então sua equação será:

$$\dfrac{(x-x_o)^2}{a^2} + \dfrac{(y-y_o)^2}{b^2} = 1,$$

sendo que as definições de $a$ e $b$ são as mesmas: medidas dos semieixos maior e menor, respectivamente.

Sendo assim, podemos determinar as coordenadas dos vértices e dos focos. Considerando que o eixo maior é paralelo ao $x$, então as coordenadas dos focos são:

$$F_1 = (x_o- c, y_o) \\
F_2 = (x_o + c, y_o)$$

E os vértices $A, B, D$ e $E$, conforme mostrado na figura abaixo, tem coordenadas:

$$A = (x_o- a, y_o) \\
B = (x_o + a, y_o) \\
D = (x_o, y_o + b) \\
E = (x_o, y_o- b)$$

Se o eixo maior for paralelo ao eixo $y$, então sua equação é:

$$\dfrac{(x-x_o)^2}{b^2} + \dfrac{(y-y_o)^2}{a^2} = 1$$

E os focos e os vértices são encontrados de maneira análoga.

Vale notar que, em ambos os casos, o centro da elipse é o ponto médio entre os focos e também o ponto médio entre os vértices.

Considere uma elipse cujo centro é o ponto $(2,- 3)$, um de seus focos tem coordenadas $(2, 0)$ e um dos vértices é o ponto $(2,2)$. Neste exemplo iremos determinar sua equação.

Primeiro note que a reta que passa pelo centro e pelo foco é paralela ao eixo $y$, portanto seu eixo maior é paralelo ao $y$.

A distância entre o centro e o foco é a medida $c$, então:

$$c = 3$$

A distância entre o centro e o vértice do eixo maior é a medida $a$, portanto:

$$a = 5$$

Vamos utilizar a relação das medidas da elipse:

$$a^2 = b^2 + c^2 \\
5^2 = b^2 + 3^2 \\
25 = b^2 + 9 \\
b^2 = 16$$

Agora já podemos montar a equação reduzida desta elipse:

$$\dfrac{(x-x_o)^2}{b^2} + \dfrac{(y-y_o)^2}{a^2} = 1 \\
\dfrac{(x-2)^2}{25} + \dfrac{(y+3)^2}{16} = 1$$

Considere a elipse cuja equação é:

$$\dfrac{(x+ 1)^2}{16} + \dfrac{(y+2)^2}{4} = 1$$

Iremos determinar seu centro, focos e vértices.

O centro é facilmente identificado pelos valores que somam com $x$ e $y$, lembrando que devem ter o sinal trocado:

$$C = (-1, -2)$$

Podemos observar que o denominador do $x$ é maior, portanto o eixo maior é paralelo ao eixo $x$. Agora, vamos determinar os valores de $a$ e de $b$.

$$a^2 = 16 \\
a = 4$$

Como esta é a medida do semieixo maior, será somada/subtraída da coordenada $x$ do centro. Portanto os pontos:

$$(-1 + 4,- 2) = (3, – 2), \\
(-1- 4,- 2) = (-5,- 2),$$

são vértices da elipse.

Os outros vértices dependem da medida $b$, que será somada/subtraída à coordenada $y$ do centro:

$$b^2 = 4 \\
b = 2$$

Portanto os outros vértices são os pontos:

$$(- 1,- 2- 2) = (- 1,- 4) \\
(- 1,- 2 + 2) = (- 1, 0)$$

Agora falta apenas localizar os focos. Para isso precisamos da distância focal $c$; vamos utilizar a relação entre as medidas da elipse:

$$a^2 = b^2 + c^2 \\
16 = 4 + c^2 \\
12 = c^2 \\
c = \sqrt{12} \\
c = 2\sqrt{3}$$

Como o eixo maior é o eixo $x$, vamos somar/subtrair esta medida da coordenada $x$ do centro:

$$F_1 = (- 1- 2\sqrt{3},- 2 ) \\
F_2 = (- 1 + 2\sqrt{3},- 2)$$

Podemos até fazer um esboço desta elipse: