Teoria Cônicas

Além da equação reduzida, toda cônica também possui uma equação geral. O formato de uma equação geral para qualquer cônica é o seguinte:

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$

Se você tem uma equação reduzida e quer chegar na equação geral, basta desenvolver os produtos e deixar todos os termos em um mesmo lado da equação. Faremos alguns exemplos disso a seguir.

Como a equação geral não é tão clara quanto às equações reduzidas, existe o cálculo de um discriminante para saber se a equação representa uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.

$$\Delta = B^2- 4AC$$

A partir daí:

Obs.: geralmente no Ensino Médio são ensinadas apenas as cônicas com retas/eixos diretores paralelos aos eixos $x$ e $y$. Nestes casos, sempre teremos $B=0$.

Caso $B \neq 0$ isto significa que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Estas cônicas geralmente são estudadas somente no Ensino Superior.

Vamos mostrar um exemplo de como seria a equação geral de cada tipo de cônica, partindo sempre da equação reduzida.

a) Neste exemplo iremos chegar na equação geral de uma elipse centrada na origem cuja equação é:

$$\dfrac{x^2}{6} + \dfrac{y^2}{8} = 1$$

Primeiro vamos deixar o mesmo denominador dos dois lados da equação; vamos escolher o $24$, MMC entre 6 e 8:

$$\dfrac{4x^2 + 3y^2}{24} = \dfrac{24}{24}$$

Agora podemos cancelar os denominadores e passar o 24 para a esquerda:

$$4x^2 + 3y^2- 24 = 0$$

Esta é a equação geral daquela elipse. Observe que os coeficiente dos termos quadráticos estão com o mesmo sinal ($x^2$ e $y^2$ são positivos).

b) Vamos também determinar a equação geral de uma hipérbole cujo centro está no ponto $(-2, 1)$:

$$\dfrac{(x+2)^2}{5}- \dfrac{(y- 1)^2}{2} = 1 \\
$$

O procedimento é parecido, mas antes vamos resolver os produtos notáveis:

$$\dfrac{x^2 + 4x + 4}{5}- \dfrac{y^2- 2y + 1}{2} = 1 \\
\dfrac{2(x^2 + 4x + 4)- 5(y^2- 2y + 1)}{10} = \dfrac{10}{10} \\
2x^2 + 8x + 8- 5y^2 + 10y- 5 = 10 \\
2x^2- 5y^2 + 8x + 10y- 7 = 0$$

Perceba que os coeficiente dos termos quadráticos estão com sinais contrários ($x^2$ é positivo e $y^2$ é negativo).

c) Por fim vamos mostrar “a cara” de uma equação geral de uma parábola; seu vértice está localizado no ponto $(1, 3)$ e seu parâmetro é $p = 3/2$:

$$(x-2)^2 = 6(y- 3) \\
x^2- 4x + 4 = 6y- 18 \\
x^2- 4x- 6y +22 = 0$$

Note que há apenas um termo quadráticos e os demais são lineares.

Não há dúvidas de que a equação reduzida das cônicas oferece mais informações do que a equação geral, mas muitos exercícios são baseados justamente em transformar uma equação geral para a forma reduzida.

Vamos começar com um exemplo simples de uma equação com centro/vértice na origem:

$$9x^2- 4y^2- 144 = 0$$

O primeiro passo vai ser deixar o termo independente do lado direito:

$$9x^2- 4y^2 = 144$$

Agora vamos dividir todos os termos por $144$ para que a equação fique com a parte “$= 1$”, característica das equações de elipse ou hipérbole:

$$\dfrac{9x^2}{144}- \dfrac{4y^2}{144} = \dfrac{144}{144} \\
\dfrac{x^2}{16}- \dfrac{y^2}{36} = 1$$

Pronto! Se trata então da equação de uma hipérbole com centro na origem, eixo real paralelo ao eixo $x$ e parâmetros $a = 4$ e $b = 6$.

Para não dividir este problema em vários casos e te deixarmos refém de fórmulas vamos ensinar um método que funciona para todas as cônicas: o método do completamento de quadrados.

Este método se baseia na fatoração dos trinômios quadrados perfeitos, então vamos lembrá-los:

$$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\\
a^2- 2ab + b^2 = (a- b)^2$$

Vamos ver como isso vai funcionar na prática com a seguinte equação:

$$3x^2 + 4y^2- 18x- 8y + 23 = 0$$

1. Primeiro vamos levar o termo independente para o lado direito, organizar as incógnitas do lado esquerdo

$$3x^2- 18 x + 4y^2- 8y =- 23$$

2. Vamos agrupar os termos com a mesma letra e fazer fatoração pelo fator comum (se possível):

$$3 (x^2- 6x) + 4(y^2- 2y) =- 23$$

3. Agora vamos completar o quadrado dentro dos parênteses, isto é, estamos com os termos $a^2 + 2ab$ e falta o $b^2$. Vamos achá-lo para formar um trinômio quadrado perfeito.

Para facilitar este processo, há uma “receitinha”: divida quem acompanha o $x$ ou o $y$ por $2$ e eleve o e resultado ao quadrado.

No caso, temos:

• $-6x \rightarrow -3 \rightarrow +9$
• $-2y \rightarrow -1 \rightarrow + 1$

Estes são os $b^2$ que procurávamos; vamos colocar $+ b^2- b^2$, pois isto é o mesmo que somar $0$ e não estamos modificando a equação:

$$3 (x^2- 6x + 9- 9) + 4(y^2- 2y + 1- 1) =- 19$$

4. Neste passo, vamos multiplicar o $4$ e o $3$ que estão fora de parênteses apenas pelo $-b^2$ para “soltá-lo” do parênteses e poder fatorar o resto:

$$3 \underbrace{(x^2- 6x + 9)} \color{blue}{- 27} + 4 \underbrace{(y^2- 2y + 1)}\color{blue}{- 4} =- 19 \\
\hspace{3em} 3 (x- 3)^2 \hspace{2em} + \hspace{2em} 4 (y-1)^2 =- 19 + 27 + 4 \\
3(x-3)^2 + 4(y-1)^2 = 12
$$

5. Para finalizar vamos dividir todos os termos pelo termo independente:

$$\dfrac{3(x-3)^2}{12} + \dfrac{4(y-1)^2}{12} = \dfrac{12}{12} \\
\dfrac{(x-3)^2}{4} + \dfrac{(y-1)^2}{3} = 1$$

Agora podemos concluir que a equação representa uma elipse de centro $(3,1)$ e parâmetros $a = 2$ e $b= \sqrt{3}$.