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Excentricidade da elipse

Uma outra característica das cônicas é chamada de excentricidade. Na elipse ela é calculada como a razão entre metade da distância focal e o semi-eixo maior:

$$e = \dfrac{c}{a}$$

Esta medida traduz o quanto a elipse é “achatada” ou mais próxima de uma circunferência.

Como sempre teremos $a > c$, podemos concluir que a excentricidade da elipse sempre será um número entre $0$ e $1$.

Quanto mais perto de $0$ a excentricidade estiver, mais a elipse se parece com um círculo; se ela tiver um valor próximo de $1$, ela é mais “achatada”.

4.1

Exemplo 1: como calcular a excentricidade da elipse

Neste exemplo iremos calcular a excentricidade da elipse cuja equação é:

$$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$$


Observando a equação, podemos concluir que $a^2 = 4$ e que $b^2 = 3$. Portanto:

$$a^2 = 4 \\
a = \sqrt{4} \\
a = 2$$

$$b^2 =3 \\
b = \sqrt 3$$

Como temos $a$ e $b$, podemos calcular o parâmetro $c$:

$$a^2 = b^2 + c^2 \\
4 = 3 + c^2 \\
c^2 = 1 \\
c = \sqrt{1} \\
c = 1$$

Agora basta calcular a excentricidade:

$$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2} \\
e = 0,5$$

4.2

Exemplo 2: como usar a excentricidade

Neste exemplo iremos determinar a equação de uma elipse centrada na origem, sendo que um dos focos está no ponto $(-3, 0)$ e possui excentricidade $\dfrac{\sqrt 2}{2}$.


O parâmetro $c$ pode ser calculado através da distância entre o foco e o centro da elipse:

$$c = 3$$

Agora vamos utilizar a excentricidade para relacionar $c$ e $a$:

$$e = \dfrac{c}{a} \\
\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3}{a} \\
\sqrt 2 a = 6 \\
a = \dfrac{6}{\sqrt 2} \\
a = \dfrac{6\sqrt2}{2} \\
a = 3\sqrt2$$

Para montar e equação da elipse só falta o parâmetro $b$; vamos usar a relação entre as medidas da elipse:

$$a^2 = b^2 + c^2 \\
(3\sqrt2)^2 = b^2 + 3^2 \\
9 \cdot 2 = b^2 + 9 \\
b^2 = 9$$

Portanto, a equação da elipse é:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \\
\dfrac{x^2}{18} + \dfrac{y^2}{9} = 1$$