Teoria Números complexos

A equação quadrática $x^2 + 1 = 0$ não pode ser solucionada com números reais, já que não existe um número real que satisfaça a seguinte igualdade:

$$x ^2= -1$$

Dessa forma, introduz-se uma unidade imaginária $i$ para preencher esta lacuna matemática:

$$i^2 = -1$$

O $i$ é o número que, elevado ao quadrado, resulta em $-1$.

Assim, um número complexo será um número da forma

$$ z= a+b \cdot i$$

onde $a$ e $b$ são números reais.

O conjunto de todos os números complexos é denotada por $\mathbb{C}$.

Obs.: Alguns materiais didáticos definem $i$ através da seguinte igualdade

$$i = \sqrt{-1}$$

Esta igualdade é útil em alguns casos específicos, mas não é uma definição apropriada, pois pode levar à absurdos.

Se $z= a + b\cdot i$ é um número complexo, então sua parte real é o número $a$ e sua parte imaginária é o número real $b$. Denota-se a parte real e imaginária de um número complexo por $\operatorname{Re}(z)$ e $\operatorname{Im}(z)$, respectivamente.

Exemplos:

• Se $z = 3 + 2\cdot i$, então $\operatorname{Re}(z) = 3$ e $\operatorname{Im}(z) = 2$;
• Se $z = 1 – i$, então $\operatorname{Re}(z) = 1$ e $\operatorname{Im}(z) = -1$;
• Se $z = -i$, então $\operatorname{Re}(z) = 0$ e $\operatorname{Im}(z) = -1$;
• Se $z = 1$, então $\operatorname{Re}(z) = 1$ e $\operatorname{Im}(z) = 0$.

Veja que todo número real $x$ pode ser representado na forma complexa através de $x = x + 0\cdot i$ (a parte imaginária é nula).

Dessa maneira, o conjunto dos números reais é um subconjunto dos números complexos, isto é, $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$. Podemos afirmar então que todo número real é complexo.

Agora que conhecemos a unidade imaginária podemos finalmente calcular a raiz quadrada de números negativos.

Vamos começar com um exemplo:

$$\sqrt{-4}$$

Lembra-se da propriedade de raízes?

$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt a \cdot \sqrt b$$

Vamos utilizar para resolver $\sqrt{-4}$:

$$\sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = \sqrt 4 \cdot \sqrt{-1} = 2 \cdot i = 2i$$

Então, na prática, para resolver raiz quadrada de número complexo basta calcular a raiz do número positivo e colocar $i$.

Exemplos:

• $\sqrt{-25} = 5i$
• $\sqrt{-16} = 4i$
• $- \sqrt{- 81}=- 9i$