Teoria Números complexos

Uma das propriedades curiosas da unidade imaginária está relacionada ao caráter cíclico de suas potências. Observe as quatro primeiras potências de $i$:

\begin{align}
i^1 &= i \\
i^2 &=- 1 \\
i^3 &= i \cdot i^2 =- i \\
i^4 &= i^2 \cdot i^2 =- 1 \cdot (- 1) = 1 \\
\end{align}

Agora observe o que ocorre com as próximas:

\begin{align}
i^5 &= i \cdot i^4 = i \cdot 1 = i \\
i^6 &= i^2 \cdot i^4 = (-1) \cdot 1 = -1 \\
i^7 &= i^3 \cdot i^4 = (-i) \cdot 1 = -i \\
i^8 &= i^4 \cdot i^4 = 1 \cdot 1 = 1 \\
\vdots
\end{align}

Como $i^4 = 1$, o elemento neutro da multiplicação, tudo que importa numa potência de $i$ é o resto da divisão por $4$.

Iremos determinar o resultado da expressão:

$$i^{81}+ i^{19}- i^{10}$$

O primeiro passo é reduzir as potências dividindo cada uma por $4$ e tomando o resto.

$\begin{array}{c l}
& 8 1 & | \hspace{-0.09cm} \underline{ \; 4 \quad} \\
& \hspace{-0.8em} \underline{- 8 \quad} & \; 20 \\
& 0 1 & \\
& \hspace{-0.25em} \underline{- 0} & \\
& \hspace{0.3cm}1
\end{array} \Rightarrow i^{81} = i^1 = i$

$\begin{array}{c l}
& 19 & | \hspace{-0.09cm} \underline{ \; 4 \quad} \\
& \hspace{-0.8em} \underline{- 16 \;} & \; 4 \\
& 0 3 & \\
\end{array} \Rightarrow i^{19} = i^3 = -i$

$\begin{array}{c l}
& 10 & | \hspace{-0.09cm} \underline{ \; 4 \quad} \\
& \hspace{-0.2em} \underline{- 8 } & \; 2 \\
& 0 2 & \\
\end{array} \Rightarrow i^{10} = i^2 = -1$

Assim, podemos resolver a expressão:

$$i^{81}+i^{19}- i^{10} = \\
= i- i- 1 = \\
= -1$$