Teoria Números complexos

As fórmulas de De Moivre usa a representação de um número complexo em sua forma trigonométrica para calcular produtos, potências, raízes e quocientes de números complexos.

Sejam $z$ e $w$ números complexos representados nas formas trigonométricas
$$z = \rho(\cos \alpha + i\sin\alpha)\;\;\text{ e }\;\; w = \sigma(\cos \beta + i\sin\beta),$$
onde $|z| = \rho$ e $|w| = \sigma$.

Então, realizando o produto de $z$ por $w$, obtemos
$$
\begin{align}
z\cdot w & = \\
& = (\rho\cdot\sigma)
\big(\cos\alpha \cos \beta + i\cos\alpha\sin\beta + i\sin\alpha\cos\beta + i^2\sin\alpha\sin\beta
\big)\\
& = (\rho\cdot\sigma)
\big[
(\cos \alpha \cos\beta – \sin\alpha\sin\beta) + i(\cos\alpha\sin\beta + \sin\beta\cos\alpha)
\big] .
\end{align}
$$
Agora lembre-se que
$$\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$$
e
$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha.$$
Dessa forma segue que
\begin{align}
z\cdot w = (\rho\cdot\sigma)
\big(
\cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta)
\big).
\end{align}
Dessa forma, para calcular o produto de dois complexos na forma trigonométrica, basta somar seus argumentos e multiplicar seus módulos.

• Sejam $z = 1 + \sqrt{3}i$ e $w = 1 + i$. Calcular o produto $z\cdot w$. Então, passando para as formas trigonométricas,

$$
z =2
\left(\cos\left( \frac{\pi}{6}\right ) +
i\sin \left( \frac{\pi}{6}\right)
\right)
$$

e

$$
w = \frac{\sqrt{2}}{2}
\left(\cos\left( \frac{\pi}{4}\right ) +
i\sin \left( \frac{\pi}{4}\right)
\right)
$$

Dessa forma, temos que

$$z\cdot w = \sqrt{2}
\left(\cos\left( \frac{5\pi}{12}\right ) +
i\sin \left( \frac{5\pi}{12}\right)
\right) .
$$

• Sejam

$$z = \sqrt{3}
\left(\cos\left( \frac{3\pi}{2}\right ) +
i\sin \left( \frac{3\pi}{2}\right)
\right)
$$

e

$$w = \sqrt{\frac{1}{2}}
\left(\cos\left( \frac{5\pi}{3}\right ) +
i\sin \left( \frac{5\pi}{3}\right)
\right) .
$$

Então, tem-se que

$$z\cdot w = \sqrt{\frac{3}{2}}
\left(\cos\left( \frac{19\pi}{6}\right ) +
i\sin \left( \frac{19\pi}{6}\right)
\right) .
$$

Considere dois números complexos $z$ e $w$ na forma trigonométrica
$$z = \rho(\cos \alpha + i\sin\alpha)\;\;\text{ e }\;\; w = \sigma(\cos \beta + i\sin\beta),$$
onde $|z| = \rho$ e $|w| = \sigma$.

Se $w\neq 0$, vamos calcular o quociente de $z$ por $w$:
\begin{align}
\frac{z}{w} & =
\left(\frac{\rho}{\sigma}\right)\left(\frac{\cos\alpha + i\sin\alpha}{\cos\beta + i\sin\beta}\right) = \\[0.5 cm]
& = \left(\frac{\rho}{\sigma}\right)
\left(\frac{\cos\alpha + i\sin\alpha}{\cos\beta + i\sin\beta}\right) \left(\frac{\cos\beta -\ i\sin\beta}{\cos\beta -\ i\sin\beta}\right) =\\[0.5 cm]
& = \left(\frac{\rho}{\sigma}\right)
\left(\frac{(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) + i(\sin\alpha\cos\beta -\cos\alpha\sin\beta)}{\cos^2 \beta -i^2\sin^2\beta}\right) = \\[0.5 cm]
&=\left(\frac{\rho}{\sigma}\right)
\left(\frac{\cos(\alpha – \beta) + i\sin(\alpha -\beta)}{1}\right) = \\[0.5 cm]
&= \left(\frac{\rho}{\sigma}\right) (\cos(\alpha – \beta)+i\sin(\alpha -\beta))
\end{align}

Dessa forma, o quociente de $z$ por $w$ é o número complexo cujo o argumento é o arumento de $z$ menos o argumento de $w$, e cujo módulo é o módulo de $z$ dividido pelo módulo de $w$.

Seja $z$ um número complexo cuja representação na forma trigonométrica é
$$z = \rho (\cos\alpha + i\sin\alpha),$$
onde $\rho = |z|$.

Veja que usando a fórmula do produto de De Moivre
$$
z^2 = z\cdot z = \rho^2 (\cos2\alpha + i\sin2\alpha)
$$
Assim,
$$z^3 = z\cdot z^2 = \rho^3 (\cos3\alpha + i\sin3\alpha)$$

Para qualquer $n\geq 1$, temos que
\begin{align}
z^n & = \underbrace{z\cdot z\dots z}_{n \text{ vezes}} = \\
&= |z|^n (\cos (\underbrace{\alpha +\dots + \alpha}_{n\text{ vezes}}) + i\sin(\underbrace{\alpha +\dots + \alpha}_{n\text{ vezes}}) = \\[0.5 cm]
& = |z|^n \big(\cos(n\alpha) + i\sin(n\alpha)\big).
\end{align}

• Seja $z = 3 + 3i$. Vamos calcular $z^{10}$. Veja que
  $$ z =
  3\sqrt{2}\left(\cos\left( \frac{\pi}{4}\right ) +
  i\sin \left( \frac{\pi}{4}\right)
  \right) .$$
  Dessa forma
  \begin{align}
  z^{10} & = (3\sqrt{2})^{10} \left(\cos\left( \frac{10\pi}{4}\right ) +
  i\sin \left( \frac{10\pi}{4}\right) \right) = \\
  & = 1889568 \left(\cos\left( \frac{10\pi}{4}\right ) +
  i\sin \left( \frac{10\pi}{4}\right) \right).
  \end{align}

• Seja
  $$ z =
  \cos\left( \frac{\pi}{4}\right ) +
  i\sin \left( \frac{\pi}{4}
  \right) .$$
  Calcular $z^{2015}$. Pela fórmula de de Moivre,
  $$ z^{2015} =
  \cos\left( \frac{2015\pi}{4}\right ) +
  i\sin \left( \frac{2015\pi}{4}
  \right) .$$

Para algum natural $n\geq 1$ e um complexo $z$, objetivo dessa parte é calcular $\sqrt[n]{z}$. Vamos chamar $\sqrt[n]{z}$ de $u$; dessa forma $u^n = z$.

Para usarmos a fórmula de De Moivre, devemos usar as representações trigonométricas de $z$ e $u$. Fixemos então

$$u = \tau (\cos\gamma + i\sin\gamma)\;\;\text{ e }\;\; z = \rho(\cos\alpha + i\sin\alpha),$$

onde $\rho = |z|$ e $\tau=|u|$.

Pela fórmula de De Moivre para potências de números complexos, obtemos
$$u^n = \tau^n (\cos n\gamma + i\sin\gamma)=z=\rho(\cos\alpha + i\sin\alpha).$$
Assim, $\tau =\sqrt[n]{\rho}$ e para cada inteiro $k$ obtemos um valor de $\gamma$ dado por

$$\gamma= \frac{\alpha +2k\pi}{n}.$$

A princípio, obtemos infinitas raízes de $z$, para cada valor de $k$. Mas, se $k\geq n$, então
\begin{align}
\gamma &= \frac{\alpha + 2k\pi}{n} =\\
&= \frac{\alpha + 2(k-n)\pi + 2n\pi}{2} = \\
&=\frac{\alpha + 2(n-k)\pi}{n} + 2\pi
\end{align}

Dessa forma
$$
\cos \left(\frac{\alpha + 2k\pi}{n}\right) = \cos\left(\frac{\alpha + 2(n-k)\pi}{n} \right)
$$

e

$$
\sin \left(\frac{\alpha + 2k\pi}{n}\right) = \sin\left(\frac{\alpha + 2(n-k)\pi}{n}\right)
$$

E portantanto,

$$\sqrt[n]{\rho}\left( \cos \left(\frac{\alpha + 2(n-k)\pi}{n}\right) + i\sin \left(\frac{\alpha + 2(n-k)\pi}{n}\right)\right) =\\[0.5 cm]= \sqrt[n]{\rho}\left(\cos \left(\frac{\alpha + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\alpha + 2k\pi}{n}\right)\right).$$

Logo, mesmo havendo infinitos valores de $\gamma$, só haverão $n$ raízes de $z$.

Assim, as raízes $n$-ésimas de $z$ são
$$u_k = \sqrt[n]{\rho}\left(\cos \left(\frac{\alpha + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\alpha + 2k\pi}{n}\right)\right)$$
para cada $k = 0, 1,\dots, n-1$.

Calcular $\sqrt[4]{1}$. Veja que
$$1 = \cos 0 + i\sin 0.$$
Dessa forma, para cada $k = 0,1,2,3$, tem-se que
$$\xi_k = \cos \left(\frac{2k\pi}{4}\right) + i\sin \left(\frac{2k\pi}{4}\right) = \\
= \cos \left(\frac{k\pi}{2}\right) + i \sin \left(\frac{k\pi}{2}\right).$$
Assim, as raízes quartas de $1$ são
$$
\xi_0 = \cos 0 + i \sin 0 = 1;\\
\xi_1 = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=i\\
\xi_2 = \cos \pi + i\sin\pi = -1;\\
\xi_3 = \cos \left(\frac{3\pi}{2}\right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{2}\right)=-i.
$$

• Calcular $\sqrt[3]{i}$. Veja que
  $$i = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right).$$
  Dessa forma, para cada $k=0,1,2$,
  $$
  u_k= \cos \left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3}\right) + i\sin \left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3}\right) = \\
  =\cos \left((k+1)\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left((k+1)\frac{\pi}{2}\right).
  $$
  Logo,
  $$
  u_0= \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = i;\\
  u_1 = \cos \pi + i\sin\pi = -1;\\
  u_2 = \cos \left(\frac{3\pi}{2}\right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{2}\right).
  $$

• Seja $z = 1 + i$. Calcular $\sqrt[4]{z}$. Como
  $$z = \sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$$

Então, para acada $k = 0,1,2,3$, tem-se que

\begin{align}
u_k &= \sqrt[4]{\sqrt{2}} \left( \cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{4}\right) \right) = \\
&\sqrt[8]{2} \left( \cos \left(\frac{(2k+1)\pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{(2k+1)\pi}{4}\right) \right).
\end{align}

Dessa forma,

$$
u_0 = \sqrt[8]{2} \left(\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{\sqrt{2}\sqrt[8]{2}}{2}(1+i);\\
u_1 = \sqrt[8]{2}\left(\cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) = \frac{\sqrt{2}\sqrt[8]{2}}{2}(-1+i);\\
u_2 = \sqrt[8]{2} \left(\cos \left(\frac{5\pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{5\pi}{4}\right)\right) = -\frac{\sqrt{2}\sqrt[8]{2}}{2}(1+i);\\
u_3 = \sqrt[8]{2}\left(\cos \left(\frac{7\pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{7\pi}{4}\right)\right) = \frac{\sqrt{2}\sqrt[8]{2}}{2}(1-i);\\
$$