Teoria Números complexos

Considere um número complexo não-nulo $z =a+bi$. Representando $z$ no plano de Argand-Gauss, obtemos a figura abaixo

A distância entre a origem e o ponto $(a,b)$ é chamada de módulo do número complexo $z$, e é denotada por $|z|$. Veja que o triângulo $O AB$ é retângulo; assim vale o teorema de Pitágoras:

$$|z|^2 = a^2 + b^2.$$

Dessa forma, o módulo do número complexo $z=a+bi$ é $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

O ângulo $\alpha$ é chamado de argumento de $z$. Veja que
$$\cos \alpha = \frac{a}{|z|}\;\;\text{ e }\;\; \sin\alpha = \frac{b}{|z|}.$$
Logo, se $a\neq 0$,
$$\tan \alpha = \frac{b}{a}$$.

Assim,
$$z = |z|(\cos \alpha + i\sin\alpha).$$
A representação de um número complexo acima é chamada de representação trigonométrica do número $z$.

Sejam $\alpha$ um real qualquer. Então, tem-se que
$$\sin(\alpha \pm 2\pi) = \sin(\alpha)\;\;\text{ e }\;\;\cos(\alpha \pm 2\pi) = \cos \alpha.$$
Assim, para qualquer número inteiro $k$,
$$\sin(\alpha +2k\pi) = \sin(\alpha)\;\;\text{ e }\;\;\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos \alpha.$$
Dessa forma, para um real $\beta$ qualquer temos que $\sin\alpha = \sin\beta$ se, e somente se, existir um inteiro $n$ tal que $\beta = \alpha +2n\pi$.

Analogamente, $\cos\alpha = \cos\beta$ se, e somente se, existir um inteiro $n$ tal que $\beta = \alpha + 2n\pi$.

Agora, considere dois números complexos $z$ e $w$ dados nas formas trigonométricas
$$z = \rho(cos\alpha + i\sin\alpha)\;\;\text{ e }\;\; w = \sigma(\cos\beta + i\sin\beta).$$
onde $\rho=|z|$ e $\sigma = |w|$. Se acontecer de $z=w$, então
\begin{cases}
|z| = \rho = \sigma = |w|\\
\cos\alpha + i\sin\alpha = \cos\beta + i\sin\beta.
\end{cases}

Assim, $\cos\alpha = \cos\beta$ e $\sin\alpha = \sin\beta$. Logo deve existir um inteiro $k$ tal que $\beta = \alpha + 2k\pi$.

1. Considere $z = 1 + i$.