Teoria Números complexos

Algumas equações polinomiais não possuem raízes em $\mathbb{R}$, como por exemplo a equação
$$x^2 + 1 = 0,$$
cujas raízes são $\pm i$. Porém, pode-se que todo polinômio com coeficientes em $\mathbb{C}$ possui raízes em $\mathbb{C}$.

Teorema Fundamental da Álgebra: Seja $p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_0$, onde cada $a_i$ é um número complexo. Então a equação $p(x) = 0$ possui exatamente $n$ raízes complexas.

O teorema acima é um teorema existencial, isto é ele não nos dá um método numérico para obter as raízes de uma equação algébrica qualquer. De fato, no século XVII o matemático francês Évariste Galois provou que não existe métodos fechados para resolver uma equação algébrica com grau maior ou igual a $5$.

Apresentaremos alguns métodos de resolução nas subseções abaixo.

Para resolver equações de 2º grau nos complexos fazemos da mesma maneira: usamos o método de Báskara para a resolução. A diferença é que não vamos parar se o “delta” der negativo.

Exemplo: Seja $p(x) = x^2 – (2-2i)x – (4 + 2i)$. Então,
\begin{align}
\Delta &= \sqrt{(2-i)^2 – 4\cdot (-4 – 2i)} \\
&= \sqrt{16} \\
&= 4.
\end{align}

Assim,

$$z_0 = \frac{-(2-i) + 4}{2} = 1+i$$
e
$$z_1 = \frac{-(2-i)-4}{2} = -3 + i$$
são as raízes de $p(x)$.

Seja $p(x) = ax^2 + bx + c = 0$ com coeficientes reais, isto é, $a,b,c\in\mathbb{R}$. Se $z = \alpha + \beta i$ é raiz de $p(x)$ e $\beta\neq 0$, então o conjugado de $z$, $\bar z = \alpha – \beta i$ também é raiz. De fato, veja que
\begin{align}
0 &= \bar 0 = \overline{az^2 + bz + c} = \\[0.7 cm]
& = \overline{az^2} + \overline{bz} + \overline{c} = a(\bar z)^2 + b\bar z + c = 0.
\end{align}

• Exemplo: Considere $p(x) = x^2 – 2x + 17$. Então,
  $$\Delta = \sqrt{2^2 – 4\cdot 17} = \sqrt{-64} = 8i.$$
  Dessa maneira,
  $$z_0 = \frac{2 + 8i}{2} = 1+4i,$$
  e
  $$z_1 = \frac{2-8i}{2} = 1-4i.$$
  Veja que $z_1 = \overline{z_0}.$

O exemplo acima também nos mostra que um polinômio com coeficientes reais pode ter raízes complexas.