Teoria Números complexos

Para calcular a divisão de dois números complexos, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:

$$ \dfrac{z}{w} = \dfrac{z \cdot \overline {w}}{ w \cdot \overline {w}}
$$

Exemplos:

$1)$ Coloque na forma algébrica os seguintes números:

$a) \dfrac{3+i}{4i}$

$$
\begin{align}
\dfrac{3+i}{4i} &= \dfrac{(3+i) \cdot (-4i)}{ 4i \cdot (-4i)} \\
&=\dfrac{-12i-4i^2}{-16i^2} \\
&=\dfrac{-12i-4\cdot (-1)}{-16\cdot (-1)} \\
&=\dfrac{-12i+4}{16} \\
&=\dfrac{4-12i}{16} \\
&=\dfrac{4 \hspace {-0.26cm}/ \cdot (1-3i)}{16\hspace {-0.46cm}/} \\
&=\dfrac{1-3i}{4}
\end{align}$$

$b) \dfrac{-1+5i}{2-i}$

$$
\begin{align}
\dfrac{-1+5i}{2-i} &= \dfrac{(-1+5i) \cdot (2+i)}{ (2-i) \cdot (2+i)} \\
&=\dfrac{-2-i+10i+5i^2}{2^2-i^2} \\
&=\dfrac{-2-i+10i+5\cdot (-1)}{4-(-1)} \\
&=\dfrac{-2+9i-5}{4+1} \\
&=\dfrac{-7+9i}{5}
\end{align}$$

$2)$ Qual o conjugado do número $\dfrac{4-8i}{i}$ ?

$$
\begin{align}
\dfrac{4-8i}{i} &= \dfrac{(4-8i) \cdot (-i)}{ (i) \cdot (-i)} \\
&=\dfrac{-4i+8i^2}{-i^2} \\
&=\dfrac{-4i+8\cdot (-1)}{-(-1)} \\
&=\dfrac{-4i-8}{+1} \\
&=-8-4i
\end{align}$$

Portanto,
$$\overline{\left (\dfrac{4-8i}{i} \right)} = -8+4i
$$