Teoria Números complexos

Se $a,b,c$ e $d$ são números reais, então vale a regra da distribuição
$$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.$$

Então a multiplicação de dois complexos $z = a+bi$ e $w = c+di$ é feita de forma a “copiar” essa regra; veja:
\begin{align}
z\cdot w &= (a+bi) \cdot (c+di)=\\
&= ac + adi + bci + bdi^2=\\
&= ac + adi + bci + bd \cdot(-1)=\\
&= ac + adi + bci- bd= \\
&= (ac-bd) + (ad+bc)i
\end{align}

Assim, definimos a multiplicação de $z = a+bi$ e $w = c+di$ por $z\cdot w = (ac-bd) + (ad + bc)i$. Assim, $\operatorname{Re}(z\cdot w) = ac-bd$ e $\operatorname{Im}(z\cdot w) = ad+bc$.

Encontre a multiplicação dos números complexos $z = 2+i\; $ e $\; w = -3+2i$.

$$
\begin{align}
z \cdot w &= (2+i) \cdot(-3+2i)\\
&= -6 + 4i-3i +2i^2 \\
&= -6 + 4i-3i +2 \cdot(-1) \\
&= -6 + i -2 \\
&= -8 + i
\end{align}
$$

Dado os números complexos $z = 5+11i\; $ e $\; w = -1+i$, encontre o valor de $m= z \cdot w$.

$$
\begin{align}
m & = z\cdot w \\
&= (5+11i) \cdot (-1+i)\\
&= -5 + 5i-11i + 11i^2 \\
&= -5 + 5i-11i + 11\cdot(-1) \\
&= -5 -6i -11 \\
&= -16 -6i\end{align}
$$