Teoria Números complexos

Dado o número complexo $z = a+bi$, temos que seu conjugado é:

$$ \overline {z} = a-bi$$

Ou seja, troca-se o sinal da parte imaginária do número.

Exemplos:

$a) z = 4 +3i \;\; \Leftrightarrow \;\; \overline{z} = 4-3i$

$b) z = -9 + 5i \;\; \Leftrightarrow \;\; \overline{z} = -9-5i$

$c) z = \sqrt 2 -8i \;\; \Leftrightarrow \;\; \overline{z} = \sqrt 2 +8i$

$d) z = -\sqrt {17}i \;\; \Leftrightarrow \;\; \overline{z} = \sqrt {17} i$

Algumas Propriedades do Conjugado

• Se $x$ é um número real, então, $x = x + 0i$. Assim,
  $$\bar x = \overline{x + 0i} = x – 0i = x.$$
  Logo, se $x$ é um número real, então $\bar x=x$.

• Se $z = a+bi$ é um número real, então $\overline{(\bar z)} = \overline{a-bi} = a+bi = z$. Logo, $\overline{(\bar z)} = z$.

• Se $z = a+bi$ e $w = c+di$ são números complexos então
  \begin{align}
  \overline{z + w} &= \overline{(a + c) + (b+d)i} = (a+c) – (b+d)i = \\[0.7 cm] & = (a – bi) + (c-di) = \bar z + \bar w.
  \end{align}
  Dessa forma a soma dos conjugados é o conjugado da soma, $\overline{z+w} = \bar z + \bar w$.

• Se $z = a+bi$ e $w = c+di$, então
  \begin{align}
  \overline{z\cdot w} &= \overline{ (ac – bd) + (ad + bc)i } =\\[0.7 cm] & = (ac-bd) – (ad + bc)i = a(c-bi) – bi (c-di) = \\[0.7 cm] &= (a-bi)(c-di) = \bar z \cdot \bar w.
  \end{align}
  Dessa forma o módulo do produto é o produto dos módulos, i.e. $\overline{z\cdot w} = \bar z\cdot \bar w$.

• Se $z = a+bi$, então $z\cdot \bar z = a^2 – b^2$ que é um número real

• Se $z=a+bi$ e $w=c+di\neq 0$, então
  \begin{align}
  \overline{\left(\frac{z}{w}\right)} & = \overline{\left (\frac{z}{w}\cdot \frac{\bar w}{\bar w}\right )} = \\[0.7 cm]
  & = \frac{1}{w\cdot \bar w}\overline{z\cdot \bar w} = \frac{\bar z \cdot w}{w\cdot \bar w} = \frac{\bar z}{\bar w}.
  \end{align}
  Logo, o conjugado do quociente é o quociente dos conjugados, i.e.
  $$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\bar z}{\bar w}.$$