Teoria Números complexos

A formula de Euler é mais uma maneira de se representar um número complexo. Para um número real $t$, definimos
$$e^{it} = \cos(t) + i\sin(t).$$
Dessa forma, veja que
$$|e^{it}| = \cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha = 1.$$

Se um número complexo $z$ possui módulo $\rho$ e argumento $\alpha$, então $z = \rho e^{i\alpha}$. Mais ainda, se $z$ é não-nulo, então $\rho = |z|$ também é não-nulo, logo existe $\ln(\rho)$ e vale a equação $e^{\ln\rho} = \rho$. Assim, se o argumento de $z$ é $\alpha$, então
$$z = \rho e^{i\alpha} = e^{\ln\rho}\cdot e^{i\alpha} = e^{\ln \rho + i\alpha}.$$