Teoria Números complexos

Veja que, da fórmula de Euler, para algum real $x$, vale
$$e^{ix} = \cos x + i\sin x.$$
Dessa forma, para algum natural $n\geq 1$, temos que
$$\cos nx +i\sin nx = e^{nix} = (e^{ix})^n,$$
donde
$$\cos nx + i\sin nx = (\cos x + i\sin x)^n.$$
Segue, portanto que
$$\cos nx = \operatorname{Re}\left((\cos x + i\sin x)^n\right),$$
e
$$\sin nx = \operatorname{Im}\left((\cos x + i\sin x)^n\right).$$

• Exemplo: Vamos calcular $\cos (3x)$. Veja que
  \begin{align}
  (\cos x + i\sin x)^3 &=\\ &=\cos^3 + 3 i\cos^2 x\sin x + 3i^2\cos x\sin^2 x + i^3\sin^3 x \\
  & = \cos^3 x -3\cos x\sin^2 x + i(3\cos^2 x\sin x – \sin^3 x).
  \end{align}
  Dessa forma, temos que
  \begin{align}
  \cos 3x &= \operatorname{Re}(\cos x + i\sin x)^3 = \\
  &=\cos^3 x – 3\cos x\sin^2 x = \cos^3 x – 3\cos x(1 -\cos^2 x) = \\&= 4\cos ^3 x – 3\cos x,
  \end{align}

e

\begin{align}
\sin 3x & = \operatorname{Im}(\cos x + i\sin x)^3 = \\
& = 3\cos^2 x\sin x – \sin^3 x = 3(1-\sin^2 x)\sin x – \sin^3 x = \\
& = 3\sin x -4\sin ^3 x
\end{align}

• Exemplo: Vamos calcular $\sin 5x$ e $\cos 5x$. Veja que
  \begin{align}
  (\cos x + i\sin x)^5 &= \cos^5 x + 5i\cos^4 x\sin x + \\
  & + 10 i^2\cos^3 x\sin^2 x + 10i^3 \cos^2 x\sin x + \\
  &+ 5i^4\cos x\sin^4 x + i^5\sin^5x =\\
  & = \cos^5 x – 10\cos^3 x \sin^2 x + 5\cos x\sin^4 x + \\
  & + i(5\cos^4 x\sin x – 10\cos^2 x\sin^3 x + \sin^5 x).
  \end{align}

Dessa forma, temos que
\begin{align}
\cos 5x &= \cos^5 x – 10\cos^3 x\sin^2 x +5\cos x\sin^4x =\\
&=\cos^5 x – 10\cos^3 x (1-\cos^2 x) + 5\cos x(1- \cos^2 x)^2 = \\
& = 16\cos^5 x – 20\cos^3 x + 5 \cos x.
\end{align}
e

\begin{align}
\sin 5x &= \operatorname{Im}(\cos x + i\sin x)^5 = \\
& = 5\cos^4 x\sin x – 10 \cos^2 x\sin^3 x + \sin^5 x = \\
& = 5(1-2\sin^2 x + \sin^4 x)\sin x -10\cos^2 x\sin^3 x + \sin^5 x = \\
& = 16\sin^5 x – 20\sin^3 x + 5\sin x.
\end{align}

• Exemplo: Calcule $\sin 36º$ e $\cos 36º$. Veja que $36º = \frac{\pi}{5}$. Dessa forma, temos que $\sin (5\cdot 36º) = 0$ e $\cos (5\cdot 36) = -1$.
  Agora, sabemos que
  $$\sin (5x) = 16\sin^5 x – 20\sin^3 x + 5\sin x.$$
  Dessa forma, usando a variável auxiliar $u = \sin(5x)$, obtemos a equação
  $$16u^5-20u^3 + 5u = u(16u^4 -20u^2 +5)=0 .$$
  Usando Báskara, para resolver $16u^4 -20u^2 +5 = 0$, temos que
  $$u^2 = \frac{20\pm 4\sqrt{5}}{32} = \frac{5\pm\sqrt{5}}{8},$$
  onde $\sin x = 0$ ou

$$\sin x = u = \pm\sqrt{\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}}$$
No primeiro quadrante a equação $\sin 5x = 0$ possui três soluções, a saber $x = 0$, $x=\frac{\pi}{5}$ ou $x=\frac{2\pi}{5}$. Como o seno é crescente e positivo no primeiro quadrante, segue que
$$\sin 18º = \sin \frac{\pi}{5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}$$
Usando a identidade pitagórica,
$$\cos^2 36º = 1-\sin^2 36º = 1 – \frac{5-\sqrt{5}}{8},$$
donde
$$\cos 36º = \sqrt{ \frac{3+\sqrt{5}}{8} }$$

• Tipo 1: $\cos nx = 0$ e $\sin nx = 0$.
  Já sabemos que $\sin \alpha = 0 $ implica em $\alpha = k\pi$ para algum inteiro $k$ e $\cos \alpha = 0$ implica em $\alpha = (2m+1)\frac{\pi}{2}$, para algum inteiro $m$. Assim, o conjunto solução da equação
  $$\sin nx = 0$$
  é
  $$S_1 = \left\{\frac{k\pi}{n}:k\in\mathbb{Z}\right\};$$
  e o conjunto solução da equação
  $$\cos nx = 0$$
  é
  $$S_2 = \left\{\frac{(2k+1)\pi}{2n}:k\in\mathbb{Z}\right\};$$

• Exemplo Resolva a equação $\sin 5x = 0$, sabendo que $x$ está no primeiro quadrante.
  Veja que o conjunto solução de $\sin 5x = 0$ é
  $$S = \left\{\frac{k\pi}{5}:k\in \mathbb{Z}\right\}.$$
  Agora, uma vez que sabemos que $x$ deve estar entre $0$ e $\frac{\pi}{2}$, pois pertence ao primeiro quadrante, temos que o conjunto solução da equação é
  $$S = \left\{0, \frac{\pi}{5},\frac{2\pi}{5}\right\}.$$