Teoria Cálculo Diferencial: Derivadas

A derivada de uma função é também o coeficiente angular da reta tangente. Vamos explorar este conceito.

Chamamos de função afim ou do 1º grau toda função cujo gráfico é uma reta. Funções do 1º grau tem a seguinte forma: $$f(x) = ax + b.$$

Na expressão acima, as constantes reais $a$ e $b$ são chamadas de coeficiente angular e coeficiente linear, respectivamente. Para o estudo de derivada, vamos abordar apenas o coeficiente angular.

O coeficiente angular $(a)$ de uma função do 1º grau é importante porque

• Se $a > 0$, a reta é crescente.
• Se $ a < 0 $, a reta é decrescente.
• Se $ a = 0 $, a reta é horizontal.

[FIGURA]

Quando uma função afim passa pelos pontos $(x_0,y_0)$ e $(x_1,y_1)$, o coeficiente angular $(a)$ dessa reta pode ser calculado pela seguinte expressão:

$$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_1 \ – y_0}{ x_1 – x_0} = \frac{f(x_1) – f(x_0)}{x_1 – x_0} $$

Antes de continuar, vamos ver um exemplo.

Exemplo
Calcule o coeficiente angular da função afim que passa pelos pontos do plano cartesiano $(2,4)$ e $(3,6)$.

$$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6 – 4}{ 3 – 2} = 2. $$

Isto é, o coeficiente angular desta função afim é $a=2$. Vamos prosseguir com a revisão.

O coeficiente angular tem este nome porque ele é também a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo $x$.

[FIGURA]

Isto significa que o valor de $a$ influencia diretamente a inclinação da reta.

[FIGURA]

Se você leu a seção anterior, pode ter reparado também que o coeficiente angular é a taxa de variação da função afim em qualquer intervalo. Então, tudo que aprendemos sobre taxa de variação aplica-se ao coeficiente angular (veja seção anterior para saber mais).

Com isto em mente, vamos voltar para derivadas.

Qual a relação entre derivadas e retas? Resumidamente, a derivada é o coeficiente ângular da reta tangente.

Para entendermos o que isto significa, considere uma função $f$, um ponto $a$ de seu domínio e um número $h>0$. Vamos calcular o coeficiente angular da reta $t$ que intercepta a função nos pontos $a$ e $a +h$, como mostra a figura.

[FIGURA]

O coeficiente angular fica então:
$$ a = \frac{f(a+h) \ – f(a)}{h}. $$

É importante perceber que, sendo $h>0$ , a reta $t$ é secante a função, isto é, a reta $t$ intercepta a função em dois pontos daquela região.

Mas, se estamos interessados na reta tangente, temos que fazer $h \rightarrow 0 $, pois, quanto menor $h$, mais próximos os pontos $x_0$ e $x_0 + h$ estarão. E consequentemente, a reta $t$ ficará cada vez mais próxima de se tornar a reta tangente. Veja a figura.

[FIGURA]

Pois bem, a esta altura, deve estar claro que o coeficiente ângular da reta tangente será obtido ao fazer $h \rightarrow 0$, isto é:

$$ a = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) \ – f(x_0)}{h} = f’(x_0). $$

Ou seja, o coeficiente angular é exatamente a derivada da função no ponto $x_0$.

Agora que sabemos que a derivada é o coeficiente angular da reta tangente, podemos concluir outras coisas.

Se a função $f$ for crescente, a derivada deverá ser positiva, pois claramente a reta tangente é crescente e tem seu coeficiente angular positivo. Veja a figura abaixo.

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Se a função $f$ for decrescente, a derivada deverá ser negativa, pois claramente a reta tangente é decrescente e tem seu coeficiente angular negativo. Veja a figura abaixo.

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E ainda, considerando as funções $f$ e $g$, de gráficos inidicados na figura abaixo,

[FIGURA]

podemos afirmar que

$$ f’(a) > g’(a), $$

pois, em $x=a$, o coeficiente angular (“inclinação”) da reta tangente à $f$ é visivelmente maior que o coeficiente da reta tangente à $g$.

E assim vamos terminando de explorar o conceito de derivada. Na próxima seção, vamos partir para o cálculo de derivadas.