Teoria Cálculo Diferencial: Derivadas

$$[f + g]’ = f’ + g’$$

Esta propriedade diz que para derivar uma soma, basta derivarmos as funções individualmente e somá-las. Isto é, a derivada da soma é a soma das derivadas.

Exemplo: Encontre a derivada de $f(x) = x^2 + \sin(x)$.
Note a soma de $x^2$ com $\sin(x)$. Neste caso, temos que derivar cada parcela e somar. Ou seja:

\begin{align}
f’(x) &= \left[ x^2 + \sin(x) \right]’ \\
&= (x^2)’ + \left[ \sin(x) \right]’ \\
&= 2x + \cos(x)
\end{align}

Exemplo: Encontre a derivada de $f(x) = x^3 + \ln(x)$.
Repare que há uma soma. Assim, vamos ter que derivar cada parcela para depois somá-las. Ou seja:
\begin{align}
f’(x) &= \left[ x^3 + \ln(x) \right]’ \\
&= (x^3)’ + \left[ \ln(x) \right]’ \\
&= 3x^2 + \frac{1}{x}
\end{align}

Agora vamos fazer um exemplo que combina esta propriedade com a multiplicação de função por constante.

Exemplo: Encontre a derivada de $f(x) = 10x^4 + 30\cos x$
\begin{align}
f’(x) &= \left[ 10x^4 + 30 \cos x\right]’ \\
&= (10x^4)’ + \left[ 30 \cos x \right]’ \\
&= 10 \cdot (x^4)’ + 30 \cdot \left[ \cos x \right]’ \\
&= 10 \cdot 4x^3 + 30 \cdot \left( – \sin x \right) \\
&= 40x^3 – 30 \sin x
\end{align}

A seguir vamos demonstrar esta propriedade. Se você não precisa ou não quer saber a demonstração, fique a vontade para pular a leitura e ir direto para o teste de verificação no final da página.

Considere então $f$ e $g$ duas funções deriváveis em $x$. Segue que:

\begin{align}
[ f(x) + g(x) ] ’ &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{ \left[ f(x+h) + g(x+h) \right] – \left[ f(x) + g(x) \right] }{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h) + g(x+h) \ – f(x) \ – g(x) }{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\left( \frac{ f(x+h) \ – f(x)}{h} + \frac{ g(x+h) \ – g(x) }{h} \right) \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\left( \frac{ f(x+h) \ – f(x)}{h} \right) \ + \lim\limits_{h \rightarrow 0} \left( \frac{ g(x+h) \ – g(x) }{h} \right) \\ \\
&= f’(x) + g’(x)
\end{align}