Teoria Cálculo Diferencial: Derivadas

$$ [c \cdot f]’ = c \cdot f’$$

A propriedade acima diz que para derivarmos uma “constante vezes função”, temos que “copiar a constante e derivar a função”.

Exemplo: Derive $f(x) = 5x^2$.
Note que o $5$ está multiplicando o $x^2$. A função $x^2$ a gente já sabe derivar, como $5$ é constante, basta copiá-lo multiplicando.

\begin{align}
f’(x) &= (5x^2)’ \\
&= 5 \cdot (x^2)’\\
&= 5 \cdot 2x \\
&= 10x \\
\end{align}

Exemplo: Derive $f(x) = 10\sin(x)$.
$10$ é constante e está multiplicando a função seno. Então bastá copiá-lo multiplicando.

\begin{align}
f’(x) &= \left[10\sin(x)\right]’ \\
&= 10 \cdot (\sin(x))’\\
&= 10 \cdot \cos(x) \\
&= 10\cos(x) \\
\end{align}

Exemplo: Derive $f(x) = \pi \ln(x)$.
$\pi$ é simplesmente um número constante. Como ele está multiplicando a função $\ln$, bastá copiá-lo multiplicando.

\begin{align}
f’(x) &= \left[\pi \ln(x)\right]’ \\
&= \pi \cdot (\ln(x))’\\
&= \pi \cdot \frac{1}{x} \\
&= \frac{\pi}{x} \\
\end{align}

Entendeu como deve fazer? Se a constante estiver multiplicando, copie a constante e derive a função.

A seguir vamos demonstrar este resultado. Se você não tem interesse ou não precisa aprender a origem desta propriedade, fique à vontade para pular a leitura. Mesmo assim, não deixe de fazer o teste de verificação, lá embaixo.

Considere então $ g (x) = c \cdot f(x) $, onde $f$ é uma função derivável e $c \in \mathbb{R}$ um número real constante.

\begin{align}
g’(x) = [c \cdot f(x)]’ &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h) \ – g(x)}{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{c \cdot f(x+h) \ – \ c\cdot f(x)}{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} c \cdot \left( \frac{ f(x+h) \ – f(x)}{h} \right) \\ \\
&= c \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h) \ – f(x)}{h}
\\ \\
&= c \cdot f’(x)
\end{align}