Teoria Cálculo Diferencial: Derivadas

A função $f(x)= e^x$ tem uma propriedade que a torna completamente única: a derivada de $e^x$ é o próprio $e^x$. É a “única” função que isto acontece.

Vamos calcular pela definição? Considere então $f(x) = e^x$ e $a \in \mathbb{R}$.

\begin{align}
f’(a) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h) \ – \ f(a)}{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^{a+h} \ – \ e^a}{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^{a}e^h \ – \ e^a}{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^{a} \cdot \left( e^h – 1\right)}{h} \\ \\
&= e^a \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{ e^h – 1}{h}.
\end{align}

Agora, nossos cálculos se resumem a mostrar que:

$$ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^h – 1}{ h} = 1. $$

Mas este resultado é verdadeiro. Você pode ver o porquê no módulo de limites. :)