Teoria Cálculo Diferencial: Derivadas

No nosso pequeno estudo sobre taxa de variação de funções, vamos tomar duas funções de exemplo:

• $f(x) = 2x + 1 $
• $g(x) = \ – x^2 + 1.$

A taxa de variação de uma função $f$ num certo intervalo $[a,b]$ é o número $T$ dado por:

$$ T = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}. $$

Vamos tomar nossa função $f(x) = 2x + 1 $ de exemplo e calcular sua taxa de variação no intervalo [0,4] para estudar seu comportamento. Com relação ao intervalo $[0,4]$, pense no $0$ como o ponto de partida e o no $4$ como ponto de chegada.

\begin{align}
T &= \frac{f(4) – f(0)}{4 – 0} \\ \\
T &= \frac{9 – 1}{4} \\ \\
T &= \frac{8}{4} \\ \\
T &= 2.
\end{align}

O resultado acima nos traz algumas informações importantes. A mais importante delas é sem dúvida esta:

• A partir do 0 até o 4, a cada uma unidade, o valor da função aumenta em média 2 unidades.

Veja o gráfico para entender melhor.

[ FIGURA ]

Além disso, como a taxa de variação foi um valor positivo ($T=2$), podemos afirmar que o valor de $f(4)$ é maior que $f(0)$. Isto é de $0$ até $4$ a função $f$ cresce, isto é, aumenta de valor.

Então, tome nota, a taxa de variação é o aumento médio da função no intervalo [0,4]. E quanto maior este número, mais expressivo será o crescimento da função.

Exemplo
Uma certa função $a$ tem taxa de variação $T_a = 3$ enquanto uma outra função $b$ tem taxa de variação $T_b = 10$, no mesmo intervalo. Qual função apresenta o maior crescimento?

Se você pensou na $b$, acertou. A $b$ possui maior crescimento porque sua taxa de variação é maior. O gráfico abaixo ilustra essa situação.

[ FIGURA ]

Agora, vamos estudar o comportamento de $g(x) = -x^2 + 1$ no intervalo [0,4]. Novamente, pense como 0 sendo o ponto de partida e 4 o ponto de chegada.

\begin{align}
T &= \frac{g(4) – g(0)}{4 – 0} \\ \\
T &= \frac{-15 – 1}{4} \\ \\
T &= \frac{-16}{4} \\ \\
T &= -4.
\end{align}

Desta vez, a taxa de variação de $T$ deu negativa. Isto significa que:

• No intervalo [0,4], a cada unidade, o valor da função $g$, em média, diminui 4 unidades.
• $g(4)$ é menor que $g(0)$
• De 0 a 4, $g$ descresce.

[FIGURA]

Ainda considerando nossa função de exemplo, $g(x) = -x^2 + 1$, vamos calcular a taxa de variação no intervalo $[-2,2]$.

\begin{align}
T &= \frac{g(2) \ – g(-2)}{2 \ – (-2)} \\ \\
T &= \frac{-3 \ – (-3) }{ 2 + 2} \\ \\
T &= \frac{-3 + 3 }{4} \\ \\
T &= \frac{0 }{4} \\ \\
T &= 0
\end{align}

A taxa de variação foi nula! Isto acontece quando o valor da função é o mesmo no início e no final do intervalo. Ou seja, $g(-2) = g(2)$.

Isso não significa que a função $g$ é constante! A interpretação correta é de que ela cresce o mesmo tanto que decresce neste intervalo.

O gráfico abaixo mostra algumas funções que tem taxa de variação nula no intervalo [a,b].

Resumindo, se $T$ é a taxa de variação de uma função $f$ no intervalo $[a,b]$ vale dizer que:

• $T> 0$ : a função aumenta de valor. E quanto maior $T$, mais expressivo é este aumento.
• $ T < 0 $ : a função diminui de valor. E quanto menor $T$, mais expressivo é o descréscimo.
• $ T = 0 $ : a função tem o mesmo valor no ínicio e no final do intervalo, i. e., a variação final é nula.

A derivada é uma taxa de variação.

Mais especificamente, a derivada é a taxa de variação pontual de uma função. O significado da palavra “pontual” ao qual estamos nos referindo é bastante específico, vamos refletir um pouco.

Considere uma certa função $f$ e sua taxa de variação $T$ num intervalo $[a – h, a+h] \subset D(f)$, com $h>0$.

Este intervalo é centralizado em $a$, como mostra a figura.

[FIGURA]

Repare que, quanto mais próximo $h$ estiver de $0$, mais próximo de $a$ os valores do intervalo ficarão.

E cada vez mais sua taxa de variação terá um significado “local”, em torno de a.

[FIGURA]

Pois bem, a derivada da função $f$ em $a$ é o valor da taxa de variação ao fazermos $h \rightarrow 0 \ $ (leia-se “h tender a zero”).

Veja novamente a definição de derivada, agora no ponto $a$. Repare que estamos fazendo limite exatamente da taxa de variação da função, como definimos logo atrás.

$$ f’(a) = \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x) \ – f(a)}{x – a} $$

Ou, equivalentemente, podemos fazer a troca de variáveis $ x = a + h $ e escrever:

$$ f’(a) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h) \ – f(a)}{h}.$$

Agora que sabemos que a derivada é uma taxa de variação, fica mais fácil de entender e interpretar o significado por trás da definição. Todas as afirmações abaixo são verdadeiras. Reflita.

• $f’(a) > 0 \ $: existe uma vizinhança de $a$ em que $f$ é crescente.
• $f’(a) < 0 \ $: existe uma vizinhança de $a$ em que $f$ é decrescente.
• Quanto maior $|f’(a)|$, mais expressivo é a variação da função em torno de $a$.