Teoria Cálculo Diferencial: Derivadas

[mm] f(x) = \cos(x) \ \ \Rightarrow \ \ f’(x) = \ – \sin(x) [/mm]

A derivada do cosseno é menos seno. Vamos verificar pela definição de derivada? Considere então $f(x) = \cos(x) $ e $a \in \mathbb{R} $.

\begin{align}
f’(a) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + h) \ – f(a)}{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(a + h) \ – \ \cos(a)}{h}
\end{align}

Usando a soma de arco do cosseno, isto é:

$$\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) \ – \sin(a)\sin(b),$$

segue que

\begin{align}
f’(a) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(a) \cos(h) \ – \ \sin(a) \sin(h) \ – \ \cos(a)}{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{-\sin(a)\sin(h)}{h} + \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(a)\cos(h) \ – \cos(a)}{h} \\ \\
&= – \sin(a) \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)}{h} + \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(a) \cdot \left( \cos(h) \ – 1 \right)}{h} \\ \\
&= – \sin(a) + \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(a) \cdot\left(\cos(h) \ – 1 \right) \cdot \left( \cos(h)+1\right)}{h \cdot \left (\cos(h) + 1\right)} \\ \\
&= – \sin(a) + \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(a)\cdot \left(\cos^2(h) – 1 \right)}{h \cdot \left(\cos(h) + 1 \right)}
\end{align}

Da Relação Fundamental da Trigonometria, segue que:

\begin{align}
\sin^2(h) + \cos^2(h) &= 1 \\
\sin^2(h) &= 1 – \cos^2(h) \\
– \sin^2(h) &= \cos^2(h) – 1 \\
\end{align}

Vamos substituir este resultado na expressão:

\begin{align}
f’(a) &= – \sin(a) + \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(a) \cdot \left( – \sin^2(h) \right)}{h \cdot \left( \cos(h) + 1 \right)} \\ \\
&= – \sin(a) + \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{ – \sin(h)}{h} \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(a) \sin(h)}{\cos(h) + 1} \\ \\
&= – \sin(a) \ – 1 \cdot 0 \\ \\
& = – \sin(a)
\end{align}