Teoria Cálculo Diferencial: Derivadas

[mm] [f – g]’ = f’ – g’ [/mm]

Esta propriedade diz que a derivada da diferença é a diferença das derivadas. É semelhante a propriedade anterior, mas com o sinal de menos ao invés do sinal de mais.

Exemplo: Calcule a derivada de $f(x) = x^2 – \sin x $.
Note o sinal de menos. Quando ele está presente, temos que derivar as funções individualmente e subtrai-las.
\begin{align}
f’(x) &= \left( x^2 – \sin x \right)’ \\
&= (x^2)’ – (\sin x)’ \\
&= 2x – \cos x
\end{align}

Exemplo: Calcule a derivada de $f(x) = 10x^5 – 4\cos x $.
\begin{align}
f’(x) &= \left( 10x^5 – 4 \cos x \right)’ \\
&= (10x^5)’ – (4 \cos x)’ \\
&= 10\cdot ( x^5 )’ – \ 4 \cdot (\cos x )’ \\
&= 10 \cdot 5x^4 \ – 4 \cdot (- \sin x ) \\
&= 50x^4 + 4 \sin x
\end{align}

Com as propriedades que aprendemos até aqui, já sabemos derivar qualquer função polinomial.

Exemplo: Derive a função polinomial $f(x) = 8x^4 – 20x^3 + 14x – 30$
\begin{align}
f’(x) &= ( 8x^4 – 20x^3 + 14x – 30 )’ \\
&= (8x^4)’ – (20x^3)’ + (14x)’ – (30)’ \\
&= 8 \cdot 4x^3 – 20 \cdot 3x^2 + 14 \cdot 1 – 0 \\
&= 32x^3 – 60x^2 + 14
\end{align}

Esta propriedade é resultado direto da propriedade anterior: derivada da soma. Veja:

[mm] [f(x) – g(x)]’ = [f(x) + (-g(x))]’ = f’(x) + [-g(x)]’ = f’(x) – g’(x) [/mm]