Teoria Cálculo Diferencial: Derivadas

$$ f(x) = \sin(x) \ \ \Rightarrow \ \ f’(x) = \cos(x)$$

A derivada do seno é cosseno. Vamos mostrar o porquê. Considere $f(x) = \sin(x)$ e $a \in \mathbb{R}$.

\begin{align}
f’(a) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h) \ – f(a)}{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(a+h) \ – \ \sin(a)}{h}
\end{align}

Usando a soma de arcos do seno, isto é,

$$ \sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a),$$

obtemos:

\begin{align}
f’(a) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(a)\cos(h) + \sin(h)\cos(a) \ – \ \sin(a)}{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(a) \sin(h)}{h} + \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(a)\cos(h) \ – \sin(a)}{h} \\ \\
&= \cos(a) \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)}{h} + \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(a) \cdot \left(\cos(h) \ – 1\right)}{h} \\ \\
&= \cos(a) + \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(a) \cdot \left(\cos(h) \ – 1 \right) \cdot \left(\cos(h) + 1\right)} {h \cdot \left(\cos(h)+1 \right)} \\ \\
&= \cos(a) + \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin(a)(\cos ^2(h) – 1)}{h \cdot ( \cos(h) + 1 ) }
\end{align}

Da Relação Fundamental da Trigonometria, podemos escrever:

\begin{align}
\sin^2(h) + \cos^2(h) &= 1 \\
\sin^2(h) &= 1 – \cos^2(h) \\
- \sin^2(h) &= \cos^2(h) – 1.
\end{align}

Substituindo na expressão da derivada, seguimos com:

\begin{align}
f’(a) &= \cos(a) + \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(a) \cdot \left( – \sin^2(h) \right)}{h \cdot \left(\cos(h) + 1 \right)} \\ \\
&= \cos(a) + \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{ -\sin(h)}{h} \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(a) \sin(h)}{\cos(h) + 1} \\ \\
&= \cos(a) \ – 1 \cdot 0 \\ \\
&= \cos(a)
\end{align}