Teoria Cálculo Diferencial: Derivadas

[mm] f(x) = \ln\left( x \right) \ \ \Rightarrow \ \ f’(x) = \frac{1}{x}[/mm]

Repetir esta frase ajuda a memorizar: A derivada de “LN” é “um sobre x”. Se seu interesse é apenas saber qual que é a derivada de $\ln$, pode ir para a próxima seção. Sem problemas. :)

Agora, se você precisa entender este resultado, continue lendo. Vamos justificar calculando pela definição. Considere $f(x) = \ln(x)$ e $a \in \mathbb{R}^*_+$.

\begin{align}
f’(a) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h) \ – \ f(a)}{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\ln(a+h) \ – \ \ln(a)}{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\ln\left(\frac{a+h}{a}\right)}{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot \ln \left( 1 + \frac{h}{a} \right)
\end{align}

Agora vamos fazer a substituição $\frac{h}{a} = u $. Note que $h = ua$ e $h \rightarrow 0 \ \ \Rightarrow \ \ u \rightarrow 0$.

\begin{align}
f’(a) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot \ln \left( 1 + \frac{h}{a} \right) \\ \\
&= \lim\limits_{u \rightarrow 0} \frac{1}{ua} \cdot \ln\left( 1 + u\right) \\ \\
&= \lim\limits_{u \rightarrow 0} \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{u} \cdot \ln\left( 1 + u\right) \\ \\
&= \frac{1}{a} \cdot \lim\limits_{u \rightarrow 0} \ln\left( 1 + u\right)^ \frac{1}{u} \\ \\
&= \frac{1}{a} \cdot \ln \left( \lim\limits_{u \rightarrow 0} \ ( 1 + u)^ \frac{1}{u} \right) \\ \\
&= \frac{1}{a} \cdot \ln e \\ \\
&= \frac{1}{a} \cdot 1 \\ \\
&= \frac{1}{a}
\end{align}