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Como fazer a equação reduzida da reta

Tirando as retas verticais, toda reta possui uma equação neste formato:

$$y = ax + b,$$

sendo $a$ e $b$ constantes reais.

A vantagem da equação reduzida é que as constantes $a$ e $b$ podem ser calculadas com dados do gráfico ou dos pontos.

A constante $a$ é chamada de $\color{blue}{\text{coeficiente angular}}$. Ela pode ser calculada das seguintes maneiras:

$$a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_b- y_a}{x_b- x_a}$$

$$\text{ou então} $$

$$a = \text{tg } \theta$$

Sendo que $A = (x_a, y_a)$ e $B=(x_b, y_b)$ são pontos pelos quais a reta passa; $\theta$ é o ângulo que a reta faz com o sentido positivo do eixo $x$.

Eq Reduzida Display1

Dependendo dos dados do problema iremos utilizar a primeira ou a outra maneira.


A constante $b$ é denominada $\color{red}{\text{coeficiente linear}}$. Ela corresponde à ordenada em que a reta corta o eixo $y$.

Eq Reduzida Display2


Mesmo se não tivermos o gráfico, podemos utilizar este modelo algébrico ($y = ax + b$) para construir a equação de uma reta.

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8.1

Exemplo 1: olha mãe, sem o gráfico

Iremos determinar a equação reduzida da reta que passa pelos pontos $A = (4, 2)$ e $B = (6, -2)$.

Lembre-se que a equação reduzida é $y = ax + b$, só precisamos descobrir o valor de $a$ e $b$ (não é o valor de $x$ nem de $y$, eles são variáveis).

Primeiro calculamos o $a$:

$$a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{- 2- (2)}{6- 4} = \dfrac{-4 }{2} =- 2$$

Agora fazemos um update na nossa reta:

$$y = -2x + b$$

Agora só falta descobrir o $b$; o raciocínio é o seguinte: o ponto $A$ não pertence à reta que queremos construir? Significa que podemos substituir suas coordenadas $(x = 4, y = 2)$ na equação:

$$2 =- 2 \cdot 4 + b \\ 2 =- 8 + b \\ 2 + 8 = b \\ b = 10$$

Aí fazemos mais um update na equação:

$$y = -2x + 10$$

Esta é a resposta! Lembre-se que estávamos procurando uma equação de reta, não um número.

8.2

Exemplo 2: um atalho

Iremos construir a equação reduzida da reta $r$ dada pelo gráfico abaixo:

Eq Reduzida Exemplo2

Primeiro, veja, que a reta corta o eixo $y$ na ordenada $4$; isso quer dizer que:

$$b = 4$$

É isso mesmo! Uma informação de graça. Agora só falta calcular o $a$. Os pontos em questão são $(0,4)$ e $(4, 6)$, então vamos fazer como o exemplo anterior:

$$a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{6- 4}{4- 0} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$$

Agora voltamos estes valores na equação reduzida:

$$y = \dfrac{1}{2}x + 4$$

8.3

Exemplo 3: mais geometria, menos analítica

Considere o triângulo equilátero formado pelos pontos $O = (0,0)$, $P = (5, 0)$ e $Q$. Iremos determinar a equação da reta suporte ao lado $OQ$.

Eq Reduzida Exemplo3

Neste caso, não temos as coordenadas do ponto $Q$. Mas veja que a reta $OQ$ corta o eixo $y$ na ordenada $0$. Portanto:

$$b = 0$$

Para descobrir o $a$ iremos utilizar a tangente do ângulo entre a reta e o eixo $x$, que no caso mede $60^{\circ}$, pois o triângulo é equilátero:

Eq Reduzida Exemplo3 Angulos

$$a = \text{tg } 60^{\circ} = \sqrt 3$$

Agora basta substituir na equação de reta:

$$\begin{align} y &= \sqrt 3 \cdot x + 0 \\ y &= \sqrt 3 x\end{align}$$

Espcex mil vertical 1