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Equação geral da reta - método do determinante

Um dos métodos para se determinar a equação de uma reta é através do determinante. Veja como ele é feito, através de um exemplo:

Temos os pontos $(-1, 2)$, $(1, -1)$ e um ponto genérico $P = (x,y)$ na reta formada por estes pontos.

Equacao De Reta Determinante 1

Segundo a condição de alinhamento, o determinante com estes pontos deve ser nulo.

$$D = \begin{array}{| c c c |}
-1 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
x & y & 1
\end{array} = 0$$

Determinante Exemplo0

Então:

$$D = 1 + 2x + y + x +y- 2 =0 \\ 3x + 2y- 2 = 0$$

Esta é a equação da reta: uma regra que relaciona as coordenadas de todos os pontos que pertencem a ela.

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6.1

Regra geral

Se você possui as coordenadas de dois pontos $A = (x_a, y_a)$ e $B = (x_b, y_b)$ e deseja saber a equação da reta que passa por $A$ e $B$, basta fazer o determinante com suas coordenadas e com o ponto $(x,y)$ genérico e igualar a zero.

$$\begin{array}{|c c c|}
x_a & y_a & 1 \\
x_b & y_b & 1 \\
x & y & 1
\end{array} = 0 $$

6.2

Exemplo 1

Iremos determinar a equação da reta $r$ que passa pelos pontos $(-1,4)$ e $(0, 6)$:

$$D = \begin{array}{|c c c|}
- 1 & 4 & 1 \\
0 & 6 & 1 \\
x & y & 1
\end{array} = – 6 + 4x + 0- 6x + y + 0$$

$$r : – 2x + y- 6 = 0$$

Esta expressão já é válida para a reta $r$, mas é comum que o sinal do $\mathbf x$ seja deixado positivo; no caso, multiplicamos por $(-1)$ dos dois lados da equação:

$$r: 2x- y + 6 = 0$$

6.3

Exemplo 2:

Iremos determinar a equação da reta $s$ representada abaixo:

Equacao De Reta Determinante 2

As coordenadas dos pontos são: $(3,0)$ e $(0,-2)$. Você precisa identificar as coordenadas para poder fazer o determinante correto:

$$\begin{array}{|c c c|}
3 & 0 & 1 \\
0 & – 2 & 1 \\
x & y & 1
\end{array} = – 6 + 0 + 0 +2x- 3y +0 = 0 $$

$$s: 2x- 3y- 6 = 0 $$

$$$$

6.4

Exemplo 3

Iremos determinar a equação da reta que passa pelo centro do círculo e pelo ponto $(2,2)$

Equacao De Reta Determinante 3

O centro do círculo tem coordenadas $(4,3)$; como temos as coordenadas de dois pontos, podemos utilizar o determinante:

$$\begin{array}{|c c c|}
2 & 2 & 1 \\
4 & 3 & 1 \\
x & y & 1
\end{array} = 6 + 2x + 4y- 3x- 2y- 8 = 0$$

$$- x + 2y- 2 = 0 \\ x- 2y + 2 =0$$

Espcex mil vertical 1