Teoria Geometria analítica

A equação reduzida da circunferência pode ser expandida para obtermos a equação geral da circunferência.

Uma equação geral de circunferência tem o seguinte modelo:

$$Ax^2 + Ay^2 + Bx + Cy + D = 0$$

Ela não possui nenhum termo misto $(xy)$ e o coeficiente do $x^2$ e do $y^2$ deve ser o mesmo.

Ao observar uma equação reduzida, identificamos rapidamente o centro e o raio. Mas e na equação geral? Como conseguimos estes dados?

Temos fórmulas que correspondem as medidas da circunferência com os coeficientes da equação:

\begin{align}
&x_c =- \dfrac{B}{2A} \\
\\
&y_c =- \dfrac{C}{2A} \\
\\
&r = \dfrac{\sqrt{B^2 + C^2- 4AD}}{2A}
\end{align}

Iremos mostrar porque estas fórmulas funcionam na próxima subseção.

Também é possível transformar a equação geral na equação reduzida pelo processo de completamento de quadrados. É muito útil se você não se dá tão bem em decorar fórmulas. À frente mostraremos exemplos de como fazer isso.

Lembre-se de que o formato da equação geral de circunferência é:

$$Ax^2 + Ay^2 + Bx + Cy + D = 0$$

Como o $A \neq 0$, podemos dividir todos os termos por $A$:

$$\dfrac{A\hspace{-0.6em}/}{A\hspace{-0.6em}/}x^2 + \dfrac{A \hspace{-0.6em}/ }{A \hspace{-0.6em}/}y^2 + \dfrac{A}{B}x + \dfrac{C}{A}y + \dfrac{D}{A} = 0 \\
x^2 + y^2 + \dfrac{A}{B}x + \dfrac{C}{A}y + \dfrac{D}{A} = 0$$

Vamos reservar esta equação enquanto expandimos a equação reduzida da circunferência:

$$(x- x_c)^2 + (y- y_c)^2 = r^2 \\
x^2- 2x_c \ x + x_c^2 + y^2- 2y_c \ y + y_c^2 = r^2 \\
x^2 + y^2- 2x_c \ x- 2y_c \ y + x_c^2 + y_c^2- r^2 = 0$$

Agora vamos comparar as duas equações e ver quais coeficientes se correspondem:

$$x^2 + y^2 + \dfrac{B}{A}x + \dfrac{C}{A}y + \dfrac{D}{A} \equiv x^2 + y^2- 2x_c \ x- 2y_c \ y + x_c^2 + y_c^2- r^2$$

Vamos igualar quem acompanha o $x$:

$$\dfrac{B}{A} =- 2x_c \\ x_c =- \dfrac{B}{2A}$$

Podemos fazer o mesmo para quem acompanha o $y$:

$$\dfrac{C}{A} =- 2y_c \\ y_c =- \dfrac{C}{2A}$$

E também igualamos os termos independentes:

$$\dfrac{D}{A} = x_c^2 + y_c^2- r^2 \\ r^2 = x_c^2 + y_c^2- \dfrac{D}{A} $$

De acordo com as expressões de $x_c$ e $y_c$ que encontramos, temos:

$$r^2 = x_c^2 + y_c^2- \dfrac{D}{A} \\
r^2 = \left (- \dfrac{B}{2A} \right )^2 + \left (- \dfrac{C}{2A} \right )^2 – \dfrac{D}{A} \\
r^2 = \dfrac{B^2}{4A^2} + \dfrac{C^2}{4A^2}- \dfrac{D}{A} \\
r^2 = \dfrac{B^2 + C^2- 4AD}{4A^2} \\
r = \sqrt{\dfrac{B^2 + C^2- 4AD}{4A^2}} \\
r = \dfrac{\sqrt{B^2 + C^2- 4AD}}{2A}
$$

Iremos determinar o centro e o raio da circunferência $\lambda$:

$$x^2 + y^2 – 2x + 6y + 5 = 0$$

Primeiro identificamos os coeficientes:

$$A = 1 \quad B =- 2 \quad C = 6 \quad D = 5$$

E agora aplicamos as fórmulas:

\begin{align}
&x_c =- \dfrac{B}{2A} = \dfrac{- (- 2))}{2 \cdot 1} = \dfrac{2}{2} = 1 \\
& y_c =- \dfrac{C}{2A} = \dfrac{- 6}{2 \cdot 1} =- 3 \\
\end{align}

\begin{align}
r &=\dfrac{\sqrt{B^2 + C^2- 4AD}}{2A} \\
&= \dfrac{\sqrt{(- 2)^2 + 6^2- 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} \\
&= \dfrac{\sqrt{4 + 36- 20}}{2} \\
&= \dfrac{\sqrt{20}}{2} \\
&= \dfrac{2\sqrt 5}{2} = \sqrt 5
\end{align}

Portanto, o centro da circunferência é $(1,- 3)$ e o raio mede $\sqrt 5$.

Veremos um exemplo de como funciona o completamento de quadrados para transformar a equação geral na equação reduzida.

Vamos considerar uma circunferência de equação:

$$x^2 + y^2- 2x- 8y + 12 =0 $$

1. Reorganizamos os termos: primeiro os termos com $x$, depois os com $y$ e passamos o termo independente para a direita.
   
   $$x^2- 2x + y^2- 8y =- 12 $$
   
   
2. Queremos adicionar números para que apareçam trinômios quadrados perfeitos para que possamos fatorá-los:
   
   $$x^2- 2x + \underline{\qquad}+ y^2- 8y + \underline{\qquad} =- 12 $$
   
   Você pode fazer isso mentalmente ou seguir o seguinte raciocínio: dividimos o coeficiente do $x$ ou $y$ por $2$ e depois elevamos o resultado ao quadrado:
   
   $$x^2- 2x \color{blue}{+ 1} + y^2- 8y \color{red}{+16} =- 12 \color{blue}{+ 1} \color{red}{+ 16} \\ \hspace{-5.5em} \downarrow \qquad \uparrow \hspace{3.5em} \downarrow \qquad \uparrow \\ \hspace{-6em} -1 \rightarrow \hspace{3.5em} -4 \rightarrow$$
   
   E tudo o que fazemos de um lado da equação, deve ser feito do outro; por isso adicionamos $+ 1$ e $+ 16$ do lado direito também.
   
   
3. Fatoramos os trinômios e somamos os números do lado direito:
   
   $$\underbrace{x^2- 2x + 1} + \underbrace{y^2- 8y + 16} =- 12 + 1 + 16 \\
   \hspace{-5em} (x- 1)^2 \quad + \; \; (y- 4)^2 = 5$$
   
   Pronto! Temos a equação na forma reduzida, então é fácil identificar o centro e o raio:
   
   $$C = (1, 4) \\
   r = \sqrt 5$$