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Retas paralelas e retas perpendiculares

Um tópico bem importante da geometria euclidiana (a outra geometria, sem coordenadas) é o das retas paralelas ou perpendiculares.

Ressaltamos que as definições da geometria euclidiana continuam valendo:

  • As retas $r$ e $s$ abaixo são paralelas; elas estão no mesmo plano e não possuem ponto em comum.

Paralelas Display

  • As retas $r$ e $t$ abaixo são perpendiculares; elas são concorrentes e o ângulo entre elas é de $90^{\circ}$.

Perpendiculares Display


“Mas e o que isso interfere nas equações destas retas?” – alguém poderia perguntar. A equação reduzida da reta é a melhor para responder esta questão.

Considere duas retas $r$ e $s$:

$$r: y = a_r x + b_r \\ s: y = a_s x + b_s$$

Se duas retas são paralelas, seus coeficientes angulares são iguais.

$$ \boxed{ a_r = a_s}$$

Mas, se elas são perpendiculares, então a multiplicação entre seus coeficientes resulta em $-1$:

$$a_r \cdot a_s =- 1$$

Em outras palavras, o coeficiente de uma das retas é o oposto do inverso do coeficiente da outra.

$$\boxed{a_r = -\dfrac{1}{a_s}}$$

“Mas, Matika, se eu faço o oposto e inverto, o número não volta pro mesmo lugar?”. De jeito nenhum, pois:

$$\text{oposto de } x = – x \\ \text{inverso de } x = \dfrac{1}{x}$$

Exemplo: oposto do inverso de $-2 \rightarrow \dfrac{1}{2}$.

11.1

Demonstração: coeficiente de retas paralelas e perperdiculares

Nesta seção, iremos explicar porque podemos fazer aquelas afirmações sobre os coeficientes de retas paralelas e das retas perpendiculares.

Primeiro considere as duas retas paralelas $r$ e $s$:

Demonstracao Retas Paralelas

O eixo $x$ pode ser considerado uma transversal que corta estas duas retas paralelas. Portanto, o ângulo que elas fazem com o eixo $x$ é o mesmo (são ângulos correspondentes).

E como o coeficiente angular é a tangente do ângulo $\alpha$, as duas retas possuem o mesmo coeficiente angular.


Agora vamos considerar as retas $r$ e $t$ perpendiculares e destacar alguns ângulos:
Demonstracao Retas Perpendiculares

A medida $\alpha + 90$ é encontrada utilizando o teorema do ângulo externo no triângulo.

Agora vamos calcular a inclinação da reta $t$ pela tangente:

$$tg(\alpha + 90^{\circ}) = \dfrac{\text{sen }(\alpha + 90^{\circ})}{\cos (\alpha + 90^{\circ})} = \dfrac{\text{sen }\alpha \cdot \cos 90^{\circ} + \text{sen }90^{\circ} \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot \cos 90^{\circ}- \text{sen }\alpha \cdot \text{ sen} 90^{\circ}} = \\
= \dfrac{0 + \cos \alpha}{0- \text{sen } \alpha} = – \dfrac{\cos \alpha}{\text{sen } \alpha} = – \dfrac{1}{\text{tg }\alpha}$$

Portanto a inclinação da reta $t$ é de fato o oposto do inverso da inclinação da reta perpendicular $r$.

11.2

Exemplos com retas paralelas

I) As retas $y = \dfrac{1}{2}x- 3$ e $y = \dfrac{1}{2}x + 2016$ são paralelas pois os seus coeficientes angulares são o mesmo.


II) As retas $r: y = 2x- 5$ e $s: 4x- 2y- 8 = 0$ são paralelas. Podemos comprovar este fato deixando $s$ em sua forma reduzida:

\begin{align}
4x-& 2y+ 8 = 0 \\- 2y &=- 4x- 8 \hspace{3em} \cdot(-1) \\
2y &= 4x + 8 \\
y &= \dfrac{4}{2} x + \dfrac{8}{2} \\
y &= 2x + 4
\end{align}


III) Vamos determinar o valor de $m$ para que as retas

  • $mx- 2y + 1 = 0$, e
  • $y = -3x$

sejam paralelas:

$$mx- 2y + 1 = 0 \\ mx + 1 = 2y \\ y = \dfrac{m}{2}x + \dfrac{1}{2}$$

O coeficiente da primeira reta é $\frac{m}{2}$ e deve ser igual a $-3$, da segunda.

$$\frac{m}{2} =- 3 \\ m =- 6$$

Portanto o $m$ deve valer $- 6$ para que as retas sejam paralelas.

11.3

Exemplos com retas perpendiculares

I) As retas $r: y = \dfrac{1}{3}x- 4$ e $p: y =- 3x + 9$ são perpendiculares. Basta multiplicar seus coeficientes angulares e conferir o resultado:

$$\dfrac{1}{3} \cdot (-3) = \dfrac{-3}{3} =- 1$$


II) Considere o triângulo formado pelos pontos $A = (2,3)$, $B = (2,0)$ e $C = (6, 2)$. Devido a nossos conhecimentos de geometria, sabemos que a altura $AH$ é perpendicular à base $BC$ do triângulo:

Perpendiculares Exemplo2

Conhecendo as equações das retas suporte de $BC$ e $AH$ comprovamos este fato:

  • BC: $y = 0,5x- 1$
  • AH: $y =- 2x + 7$

$$0,5 \cdot (-2) = -1$$


III) Iremos investigar o valor de $k$ para que as retas $a: y = kx- 4$ e $b: 2x- ky + 2 = 0$ sejam perpendiculares.

Primeiro deixamos a segunda reta na forma reduzida:

$$2x- ky + 2 = 0 \\
2x + 2 = ky \\
y = \dfrac{2}{k}x + \dfrac{2}{k}$$

Agora o produto entre os coeficientes angulares deve ser $-1$:

$$k \cdot \dfrac{2}{k} =- 1 \\ \dfrac{2k}{k} =- 1$$

Tome muito cuidado nesta passagem; não podemos cortar o $k$, pois não sabemos se ele pode ser $0$ ou não. Vamos prosseguir fazendo a multiplicação em cruz:

$$ \dfrac{2k}{k} =- 1 \\
2k =- k \\ 3k = 0 \\ k = \dfrac{0}{3} \\ k = 0$$

Como mencionado, $k$ acabou sendo $0$, e isso não é problema nenhum. As retas ficariam assim:

\begin{align} a: y &= 0 \cdot x- 4 \\ y &=- 4 \end{align} \begin{align} b: 2x- 0 \cdot y + 2 &= 0 \\ 2x &=- 2 \\ x &=-1 \end{align}

A reta $a$ teria que ser uma reta horizontal e a reta $b$, uma reta vertical.

11.4

Como construir uma reta paralela?

Considere que os pontos $A = (- 1,- 4)$, $B = (1,1)$, $C = (- 1, 2)$ e $D$ são vértices consecutivos de um retângulo. Iremos determinar a equação da reta suporte do lado $CD$.

Imagem

Neste caso, não temos o ponto $D$, nem o ângulo que $CD$ faz com o eixo $x$, então precisamos determinar a inclinação da reta de outra maneira.

Lembre-se que em um retângulo os lados opostos são paralelos; então podemos encontrar a inclinação da reta $AB$ e usar para construir a reta $CD$.

$$m_{AB} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{1- (- 4)}{1- (- 1)} = \dfrac{1 + 4}{1 + 1} = \dfrac{5}{2}$$

Por ser paralela, a reta $CD$ tem a mesma inclinação:

$$m_{CD} = \dfrac{5}{2}$$

Agora podemos usar a fórmula do “yô-yô mi xô-xô”, pois temos a inclinação e um ponto (o ponto $C$).

$$(y- y_o) = m (x- x_o) \\
(y- 2) = \dfrac{5}{2} (x- (- 1)) \\ $$

Podemos fazer a multiplicação em cruz; o $2$ do denominador passa multiplicando na esquerda:

$$(y- 2) \cdot 2 = 5 \cdot (x + 1) \\
2y- 4 = 5x + 5 \\
0 = 5x- 2y + 5+ 4 \\
5x- 2y + 9 = 0$$

Esta é a equação do lado $CD$.

11.5

Como construir uma reta perpendicular?

Considere o triângulo formado pelos pontos $A = (1,1)$, $B = (1,5)$ e $C = (5,3)$. Iremos determinar a equação da reta $r$, suporte da altura que passa pelo ponto $A$.

A estratégia é a seguinte: a altura de triângulo sempre é perpendicular ao lado; nesse caso, a altura do ponto $A$ é perpendicular ao lado $BC$. Então podemos calcular a inclinação de $BC$ e utilizá-la para calcular a inclinação da altura.

$$m_{BC} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{3- 5}{5- 1} = \dfrac{-2}{4} =- \dfrac{1}{2}$$

Agora, a inclinação da reta perpendicular deve ser o oposto do inverso da inclinação da reta:

$$m_{BC} =- \dfrac{1}{2} \Rightarrow m_r = \dfrac{2}{1} = 2$$

E a reta $r$ passa pelo ponto $A = (1,1)$; então já temos tudo para construir a equação de reta:

$$(y- y_o) = m (x- x_o) \\
(y- 1) = 2 (x- 1) \\
y- 1 = 2x- 2 \\
0 = 2x- y- 2+ 1 \\
2x- y- 1 = 0$$

Espcex mil vertical 1