Teoria Geometria analítica

Na Geometria Analítica, determinar os pontos de interseção entre objetos geométricos significa resolver um sistema de equações.

Veremos os principais casos de interseção da Geometria Analítica e como resolvê-los.

Há $3$ possibilidades para a interseção de retas:

• Solução única – retas concorrentes

Quando resolvemos o sistema encontramos apenas $1$ solução; as retas só possuem $1$ ponto em comum.

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• Infinitas soluções – retas paralelas coincidentes

Este sistema é do tipo possível e indeterminado; as retas possuem todos os seus pontos em comum.

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• Nenhuma solução – retas paralelas distintas

O sistema é do tipo impossível; as retas não possuem nenhum ponto em comum.

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Vamos mostrar um exemplo de cada caso de interseção de retas.

a) Interseção entre $r: y = x + 4$ e $s: 2x + y + 5 = 0$

$$\left \{ \begin{array}{l}
y = x + 4 \\
2x + y + 5 = 0
\end{array} \right.$$

Vamos aproveitar que o $y$ já está isolado na equação da primeira reta e substituir na segunda equação:

$$2x + x + 4 + 5 = 0 \\ 3x + 9 = 0 \\ 3x =- 9 \\ x =-3 $$

Agora voltamos e substituímos o valor do $x$:

$$y = x + 4 \\ y =-3 + 4 \\ y = 1$$

Portanto as retas são concorrentes no ponto $(-3, 1)$.

b) Interseção entre $t: 4x- 2y + 1 = 0$ e $u: y = 2x- 5$.

$$\left \{\begin{array}{l}
4x- 2y + 1 = 0 \\
y = 2x- 5
\end{array} \right.$$

Vamos substituir $y = 2x- 5$ na primeira equação:

$$4x- 2(2x- 5) +1 = 0 \\
4x- 4x + 10 + 1 =0 \\
11 = 0$$

Quando a equação chega num absurdo como $11 = 0$ significa que o sistema é impossível.

Podemos concluir então que as retas são paralelas distintas.

c) Neste exemplo faremos algo diferente.

Sabendo que as retas $p: 6x- 2y +(k- 1) = 0$ e $q: y = 3x + 2 $ são paralelas coincidentes, iremos determinar o valor de $k$.

$$\left \{ \begin{array}{l}
6x- 2y +(k- 1) = 0 \\
y = 3x + 2
\end{array} \right.$$

Iremos substituir $y = 3x + 2$ na primeira equação:

$$6x- 2(3x + 2) + k- 1 = 0 \\
6x- 6x- 4+ k- 1 = 0 \\
k- 5 = 0 \\
k = 5$$

Conclusão: o valor de $k$ deve ser $5$ para que as retas sejam paralelas coincidentes.

Para fazer este tipo de interseção é necessário resolver um sistema não-linear (com $x^2$ ou $y^2). Há $3$ possibilidades como solução deste sistema:

1. Nenhuma solução – reta exterior à circunferência
   
   A reta não possui nenhum ponto em comum com a circunferência.
   
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2. Solução única – reta tangente à circunferência
   
   A reta que possui apenas $1$ ponto em comum com a circunferência é chamada de reta tangente. Além disso,
   
   * ela sempre é perpendicular à reta que liga o centro e o ponto de tangência;
   
   * a distância entre o centro e a reta é igual ao raio.
   
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3. Duas soluções – reta secante à circunferência
   
   É quando a reta cruza a circunferência em $2$ pontos distintos.
   
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Vamos verificar que a reta $r: x- 4y = 0$ é exterior à circunferência de equação $C: x^2 + y^2- 6y + 5 = 0$.

$$\left \{ \begin{array}{l}
x-4y = 0 \\
x^2 + y^2-6y + 5 = 0
\end{array} \right.$$

Vamos isolar o $x$ na primeira equação:

$$x = 4y$$

e substituir na segunda equação, lembrando de usar parênteses:

$$(4y)^2 + y^2- 6y + 5 = 0 \\ 16y^2 + y^2- 6y + 5 = 0 \\
17y^2- 6y + 5 = 0 $$

Chegamos em uma equação de 2º grau. Vamos calcular seu discriminante:

\begin{align}
\Delta &= (-6)^2- 4 \cdot 17 \cdot 5 \\
&= 36- 340 \\
&=- 304
\end{align}

Como o $\Delta$ é negativo, não existe solução real para o problema e portanto não há interseção entre os objetos.

Vamos verificar se a reta $s: x- y- 1 = 0$ é tangente à circunferência $C: x^2 + y^2- 4x- 6y + 11 = 0$.

$$\left \{ \begin{array}{l}
x-y-1 = 0 \\
x^2 + y^2- 4x- 6y + 11 = 0
\end{array}\right.$$

Vamos isolar o $y$ na primeira equação:

$$x- y-1 = 0 \\ x- 1 = y \\ y = x- 1$$

E substituir na segunda equação:

$$x^2 + (x- 1)^2- 4x- 6 (x-1) + 11 =0 \\
x^2 + x^2- 2x + 1- 4x- 6x + 6 + 11 =0 \\
2x^2- 12x + 18 = 0 \qquad (\div 2) \\
x^2- 6x + 9 = 0 \qquad \ $$

Vamos calcular o discriminante desta equação:

\begin{align}
\Delta &= (-6)^2- 4 \cdot 1 \cdot 9 \\
&= 36- 36 \\
&= 0
\end{align}

Como o $\Delta = 0$, só iremos encontrar uma solução na equação de 2º grau. Aqui já podemos confirmar que a reta é tangente.

Se seguirmos em frente, vamos encontrar o ponto de tangência:

$$x = \dfrac{- (- 6) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3$$

Agora que encontramos $x$ vamos voltar e calcular o $y$:

$$y = x- 1 \\ y = 3- 1 \\ y = 2$$

Portanto o ponto de interseção entre a reta e a circunferência é:

$$(3,2)$$

Se uma reta é secante à uma circunferência elas possuem dois pontos distintos em comum. O segmento determinado por estes pontos recebe o nome de corda

Se calcularmos a distância entre estes dois pontos, podemos obter o comprimento da corda determinada pela reta na circunferência.

Utilizando um sistema de coordenadas com unidades em quilômetros, um avião segue um trajeto segundo a reta de equação $x- 2y- 10 = 0$ e irá atravessar uma zona de risco. A zona de risco pode ser descrita como uma área circular de circunferência $x^2 + y^2- 8x- 4y = 180$.

Determine que distância o avião percorre dentro da zona de risco. (Utilize $\sqrt2 = 1,4).$

Primeiro vamos determinar os pontos de interseção entre a reta e a circunferência, que representam onde o avião entra na zona de risco e onde o avião sai da zona de risco.

\begin{cases}
x^2 + y^2- 8x- 4y = 180 \\
x- 2y- 10 = 0
\end{cases}

Vamos isolar o $x$ na segunda equação e substituir na primeira:

$$x = 2y + 10$$

$$(2y + 10)^2 + y^2- 8 (2y + 10)- 4y = 180 \\
4y^2 + 40y + 100 + y^2- 16y- 80- 4y = 180 \\
5y^2 + 20y – 160 = 0 \qquad (\div5) \\
y^2 + 4y- 32 = 0 \qquad \quad$$

Utilizaremos soma e produto para resolver esta equação:

$$\begin{align}
&S =- 4 \\
&P =- 32
\end{align} \Rightarrow \begin{array}{l}
y_1 = 4 \\
y_2 =- 8
\end{array}$$

Estas são as coordenadas $y$ dos pontos de interseção; agora vamos substituí-los em alguma das equações para saber a coordenada $x$; vamos escolher a equação da reta por comodidade:

\begin{align} y = 4 \rightarrow &x = 2 \cdot 4 + 10 \\
&x = 8 + 10 \\
&x = 18 \\
\\
y=- 8 \rightarrow &x = 2 \cdot (- 8) + 10 \\
&x =- 16 + 10 \\
&x =- 6
\end{align}

Portanto os pontos de interseção são $(- 6,- 8)$ e $(18, 4)$. Agora precisamos da distância entre estes pontos:

$$d = \sqrt{(18- (- 6))^2 + (4- (- 8))^2} \\
d= \sqrt{24^2 + 12^2} \\
d = \sqrt{720} \\
d = 6 \sqrt 5 \\
d = 6 \cdot 2,2 \\
d = 13,2 \ km$$

Portanto o avião percorre aproximadamente $13,2 \ km$ dentro da zona de risco.