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Equação da reta a partir da inclinação e um ponto

Este método permite que você construa equações de reta conhecendo apenas um ponto $(x_o, y_o)$ em que ela passa, desde que você conheça também a inclinação $m$ da reta.

$$(y- y_o) = m (x- x_o)$$

Esta técnica é popularmente conhecida como “iô-iô mi xô-xô”.


A demonstração vem da própria definição da inclinação. Temos uma reta que passa pelo ponto $(x_o, y_o)$ e conhecemos (de alguma maneira) sua inclinação $m$. Se tomarmos um ponto genérico $P = (x,y)$ desta reta, quando calcularmos a inclinação com ele, deve resultar em $m$ também.

Yoyomixoxo

$$m = \dfrac{y- y_o}{x- x_o} \Rightarrow m \cdot (x- x_o) = y- y_o$$

9.1

Exemplo 1: dois pontos revisitado

Se você deu uma olhada na seção do método do determinante, viu que encontramos a equação de reta que passa pelos pontos $(- 1,4)$ e $(0,6)$.

Vamos utilizar a fórmula desta seção e ver se ela condiz com o resultado.

Como temos dois pontos, vamos começar calculando a inclinação $m$

$$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{6- 4}{0- (- 1)} = \dfrac{2}{0+ 1} = 2$$

Agora precisamos de um ponto de partida; pode ser qualquer um dos dois, então vamos escolher $(0,6)$:

$$(y- y_o) = m (x- x_o) \\ (y- 6) = 2 (x- 0) \\
y- 6 = 2x \\
0 = 2x- y + 6 \\
2x- y + 6 = 0 $$

E chegamos na mesma equação. Então realmente podemos utilizar esta fórmula quando conhecemos dois pontos pelos quais a reta passa.

9.2

Exemplo 2: não tá faltando informação?

Considere o triângulo equilátero cujos vértices são $O= (0,0)$, $A=(3,0)$ e $B$.

Yoyomixoxo Exemplo2 1

Iremos construir a reta suporte do lado $AB$. Detalhe: sem as coordenadas de $B$.

Podemos encontrar a inclinação da reta $AB$ através do ângulo que ela faz com o eixo $x$. Sabemos que todos os ângulos internos do triângulo equilátero medem $60^{\circ}$. Então o ângulo externo do vértice $A$ é:

$$180- 60= 120^{\circ}$$

Yoyomixoxo Exemplo2 2

Então a inclinação $m$ pode ser encontrada com a tangente deste ângulo:

$$m = \text{ tg} 120^{\circ} =- \text{ tg} 60^{\circ} = -\dfrac{\sqrt 3}{3}$$

Agora precisamos de um ponto que está na reta; vamos escolher o $A = (3,0)$:

$$(y- y_o) = m (x- x_o) \\
(y- 0 ) =- \dfrac{\sqrt 3}{3} (x- 3) \\
y = – \dfrac{\sqrt 3}{3} x- \dfrac{\sqrt 3 \cdot 3 \hspace{-0.5em}/ }{3 \hspace{-0.5em} /} \\
y = – \dfrac{\sqrt 3}{3} x- \sqrt 3$$

E aí está a equação (reduzida) da reta AB.

Espcex mil vertical 1