Teoria Geometria analítica

A equação da reta pode ser apresentada de várias formas. É importante que você as conheça, pois cada uma possui suas vantagens e desvantagens.

Toda reta possui uma equação na forma geral:

$$Ax + By + C = 0,$$

sendo $A$, $B$ e $C$ constantes reais com $A$ positivo.

Para saber se um ponto $P = (x_o, y_o)$ pertence à reta, é só trocar suas coordenadas no lugar do $x$ e do $y$ da equação.

Exemplo

Iremos determinar o valor de $m$ para que o ponto $P = (2, 2m-1)$ pertença à reta $s: 4x- 3y + 1 = 0$

$$4 \cdot 2- 3 \cdot (2m- 1) + 1 = 0 \\
8- 6m + 3 + 1 = 0 \\ 12- 6m = 0 \\ – 6m =- 12 \\ 6m = 12 \\ m = \dfrac{12}{6} \\ m = 2$$

Este formato só vale para retas inclinadas, isto é, que não são verticais nem horizontais.

$$y = ax + b,$$

sendo $a$ e $b$ constantes reais.

A vantagem deste formato é que as constantes $a$ e $b$ podem ser calculadas com dados do gráfico ou dos pontos.

Mesmo se não tivermos o gráfico, podemos utilizar este modelo algébrico para construir a equação de uma reta.

As coordenadas de um ponto $P = (x,y)$ que pertence a uma reta podem ser representadas através de um sistema de equações:

$$\left \{ \begin{array}{c}x = x_o + at \\ y = y_o + bt \end{array} \right .$$

Em que $(x_o, y_o)$ é um ponto pertencente à reta, $a$ e $b$ são constantes e $t$ é a variável.

A vantagem deste formato é que as coordenadas do ponto ficam dependendo de apenas uma variável. Ele é mais utilizado na geometria analítica do ensino superior em que $\vec{v} = (a,b)$ é o vetor diretor da reta.

Não é o tipo mais popular de equação de reta, mas traz informações bem diretas. Seu formato é o seguinte:

$$\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1$$

em que $x$ e $y$ são as variáveis, $p$ é o ponto de interseção entre a reta e o eixo $x$; o valor $q$ é a interseção entre a reta e o eixo $y$.

Então é só bater o olho na equação e você já pode dizer muito a seu respeito e inclusive esboçar seu gráfico sem fazer nenhuma conta.