Teoria Matriz

Nas aulas anteriores, todas vezes que falávamos de uma matriz, a identificávamos completamente, escrevendo seu nome e listando todos seus elementos, dispostos em formato de tabela. Por exemplo, assim:
[mm] M = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
-1 & -2
\end{bmatrix} [/mm]

Mas esse não é o único jeito de apresentar uma matriz.

Algumas outras matrizes são dadas por uma lei de formação. Por exemplo,

[mm] (a_{ij})_{2 \times 2} = i + j. [/mm]

Isso aí em cima é uma matriz inteira de ordem $2 \times 2$.

Essa lei de formação faz uso da notação de elemento $a_{ij}$ que aprendemos também na aula anterior, então é essencial você ter entendido isso antes de avançar. Se não tá lembrando, clica aqui.

Os elementos de uma matriz $(a_{ij})$ podem ser obtidos com a lei de formação, substuindos os valores de $i$ e $j$ pelas respectivas linha e coluna do elemento que queremos encontrar.

[mm]
(a_{ij}) = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
[/mm]

Tendo em vista a lei de formação

[mm] (a_{ij})_{2 \times 2} = i + j, [/mm]

vamos calcular $a_{11}$. Para isso, devemos substituir o $i$ por $1$ e o $j$ por $1$.

\begin{align}
a_{11} &= 1 + 1 = 2
\end{align}

Vamos calcular agora o $a_{12}$?

• No lugar do $i$, vamos colocar $1$.
• No lugar do $j$, vamos colocar $2$.

\begin{align}
a_{12} &= 1 + 2 = 3
\end{align}

Faça também com $a_{21}$ e $a_{22}$, você obterá a matriz completa.

[mm] (a_{ij}) = \begin{bmatrix}
2 & 3 \\ 3 & 4
\end{bmatrix} [/mm]

Essa lei de formação foi bem simples. Há inúmeras outras, às vezes, bem mais complexas. Também não há limite de tamanho da matriz.

Veja o exemplo abaixo, onde a matriz $(b_{ij})$ é de ordem $50 \times 50$ e possui uma lei de formação bem mais complicada que a anterior.

$$(b_{ij})_{50 \times 50} = i^2 – \sqrt{(i-j)^2}$$

A ideia aqui não é enumerar todos os elementos da matriz acima, não faremos isso. A ideia é entender o conceito.

Se você leu a matriz acima, identificou que ela tem 50 linhas e 50 colunas e saberia como calcular qualquer um de seus elementos, você está preparado para a próxima aula.

Mas, para desencargo de consciência, vamos calcular o elemento $b_{(4 , \ 10)}$. Isto é, vamos trocar $i$ por $4$ e $j$ por $10$.

Como a lei de formacão é

[mm] b_{ij} = i^2 – \sqrt{(i-j)^2}, [/mm]

então

\begin{align}
b_{(4, \ 10)} &= 4^2 – \sqrt{(4-10)^2} \\
b_{(4, \ 10)} &= 16 – \sqrt{(-6)^2} \\
b_{(4, \ 10)} &= 16 – \sqrt{36} \\
b_{(4, \ 10)} &= 16 – 6 \\
b_{(4, \ 10)} &= 10
\end{align}.

Na próxima aula, falaremos um pouco sobre igualdade de matriz.