Teoria Matriz

Dada uma matriz quadrada $A$, denotamos a matriz inversa por $A^{-1}$. A matriz inversa é a matriz que quando multiplicada por $A$ resulta no elemento neutro das matrizes, isto é, a matriz identidade:

$$A \cdot A^{-1} = I \quad \text{e} \quad A^{-1} \cdot A = I$$

Se uma matriz possui inversa, esta inversa é única!

Se uma matriz não possui inversa, ela é chamada de matriz singular. Muitos resultados na matemática dependem do fato de uma matriz ser singular ou não.

Calcular a inversa de uma matriz é uma dos procedimentos mais trabalhosos na matemática.

Um dos métodos para se calcular a inversa de uma matriz é através de sistemas lineares. Ele consiste no uso da definição de matriz inversa.

Para se inverter uma matriz $A_{2 \times 2}$, por exemplo, utilizamos a seguinte equação:

$$A \cdot A^{-1} = I_2$$

Os coeficientes da matriz $A$ são conhecidos, mas o de $A^{-1}$ não. Desenvolvendo esta equação com a multiplicação de matrizes teremos dois sistemas $2 \times 2$.

Para se inverter uma matriz $3 \times 3$ podemos utilizar o mesmo raciocínio e chegar a três sistemas $3 \times 3$, e assim por diante.

Dada a matriz $A$ abaixo iremos encontrar sua inversa.
$$A = \left ( \begin{array}{c c}
3 & -1 \\
-2 & 0
\end{array}\right)$$

Primeiro, verificamos que a matriz não é singular

$$\det A = -2 \neq 0$$

e que, portanto, possui inversa. Assim, podemos escrever a seguinte equação:
$$\left ( \begin{array}{c c}
3 & -1 \\
-2 & 0
\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c c }
a & b \\
c & d
\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c c }
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \\
\left( \begin{array}{c c}
3a -c & 3b – d \\
-2a & -2b
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c }
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$

Daí resolvemos os sistemas formados em cada coluna:
$\left\{ \begin{align}
3a -c &= 1 \\
-2a &= 0
\end{align} \right.$
$$\begin{align}
-2a &= 0\\
a &= 0
\end{align}$$

$$\begin{align}
3 \cdot 0 – c &= 1 \\
-c &= 1 \\
c &= -1
\end{align}$$

$\left\{ \begin{align}
3b -d &= 0 \\
-2b &= 1
\end{align} \right.$
$$\begin{align}
-2b &= 1 \\
b &= -\dfrac{1}{2}
\end{align}$$

$$\begin{align}
3b – d &= 0 \\
3(-\dfrac{1}{2}) – d &= 0 \\
-\dfrac{3}{2} – d &= 0 \\
d &= – \dfrac{3}{2}
\end{align}$$

Após resolver os dois sistemas podemos escrever a inversa:
$$A^{-1} = \left ( \begin{array}{ c c }
0 & -\dfrac{1}{2} \\
-1 & -\dfrac{3}{2}
\end{array} \right )$$

Dada a matriz $B$ abaixo iremos encontrar sua inversa.
$$B = \left ( \begin{array}{c c c}
1 & 0 & 2 \\
2 &-1 & 1 \\
-3 & 2 & 1
\end{array}\right)$$

Primeiro, verificamos que a matriz não é singular

$$\det A = -1 \neq 0$$

e que, portanto, possui inversa. Assim, podemos escrever a seguinte equação:
$$\left ( \begin{array}{c c c}
1 & 0 & 2 \\
2 &-1 & 1 \\
-3 & 2 & 1
\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c c c}
a & d & g\\
b & e & h \\
c & f & i
\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c c c}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)$$

Desenvolvendo a multiplicação das matrizes iremos encontrar um sistema em cada coluna:
$$\left( \begin{array}{c c c}
a + 2c & d + 2f & g + 2i\\
2a -b + c & 2d -e + f & 2g -h + i \\
-3a + 2b + c & -3d + 2e + f & -3g + 2h + i
\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c c c}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)$$

Repare que as equações entre uma coluna e outra são as mesmas; o que muda são apenas os resultados e as incógnitas. O primeiro sistema é:
$\left \{ \begin{array}{c c c c}
a + 2c &= &1 & \quad I\\
2a – b + c &= & 0 & \quad II\\
-3a + 2b + c &= & 0 & \quad II I
\end{array}\right.$

Isolando $c$ na equação $II$ teremos:

$$c = b – 2a$$

E substituindo nas demais:
$\left \{ \begin{array}{c c c}
a + 2(b – 2a) &= &1\\
-3a + 2b + (b – 2a) &= & 0
\end{array}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{array}{c c c}
a + 2b – 4a &= &1\\
-3a + 2b + b – 2a &= & 0
\end{array}\right.$

Iremos manipular as equações para eliminar uma incógnita:

$\left \{ \begin{array}{c c c}
-3a + 2b &= &1 \quad \cdot(-3)\\
-5a + 3b &= & 0 \quad \cdot(2)
\end{array}\right. \Rightarrow
\left \{ \begin{array}{c c c c}
9a -6b &= &-3 & \quad I\\
-10a + 6b &= & 0 & \quad II I
\end{array}\right.$

Somando $I$ a $II I$ obteremos:
$$9a – 6b – 10 a + 6b = -3 + 0\\
-a = -3 \\
a = 3
$$

Retornando este valor à equação $II I$:
$$-10(3) + 6b = 0 \\ -30 + 6b = 0 \\ 6b = 30 \\ b = 5$$

Retornando $a$ e $b$ à equação $II$ do início:
$$c = 5 – 2(3) \\ c = 5 – 6 \\ c= -1$$

O segundo sistema é:
$\left \{ \begin{array}{c c c c}
d + 2f &= &0 & \quad I\\
2d – e + f &= & 1 & \quad II\\
-3d + 2e + f &= & 0 & \quad II I
\end{array}\right.$

Isolando $d$ em $I$ teremos:

$$d = -2f$$

E substituindo nas demais:
$\left \{ \begin{array}{c c c}
2(-2f) – e + f &= & 1\\
-3(-2f) + 2e + f &= & 0
\end{array}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{array}{c c c}
-4f – e + f &= & 1\\
+6f + 2e + f &= & 0
\end{array}\right.$

Iremos manipular as equações para eliminar uma incógnita:

$\left \{ \begin{array}{c c c c}
- e -3 f &= & 1 &\quad \cdot(2)\\
2e + 7f &= & 0 &
\end{array}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{array}{c c c c}
- 2e -6 f &= & 2 &\quad II\\
2e + 7f &= & 0 &\quad II I
\end{array}\right.$

Somando $II$ e $II I$ teremos:
$$-2e -6f + 2e + 7f = 2 + 0 \\ f = 2$$

Substuindo este valor em $II I$:
$$2e + 7(2) = 0 \\ 2e + 14 = 0 \\ 2e = -14 \\ e = -7$$

Levando o valor de $f$ em $I$ teremos:
$$d = -2(2) \\ d = -4$$

O último sistema é:
$\left \{ \begin{array}{c c c c}
g + 2i &= &0 & \quad I\\
2g – h + i &= & 0 & \quad II\\
-3g + 2h + i &= & 1 & \quad II I
\end{array}\right.$

Isolando $g$ em $I$:

$$g = -2i$$

E substituindo nas demais:
$\left \{ \begin{array}{c c c}
2(-2i) – h + i &= 0 \\
-3(-2i) + 2h + i &= 1
\end{array}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{array}{c c c}
-4i – h + i &= 0 \\
+6i + 2h + i &= 1
\end{array}\right.$

Iremos manipular as equações para eliminar uma incógnita:
$\left \{ \begin{array}{c c c c}
-3i – h &= 0 & \cdot (2) \\
7i + 2h&= 1 &
\end{array}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{array}{c c c c}
-6i – 2h &= 0 & II \\
7i + 2h&= 1 & II I
\end{array}\right.$

Somando $II$ e $II I$ teremos:
$$-6i -2h + 7i + 2h = 1 \\ i = 1$$

Substuindo este valor em $II I$:
$$7(1) + 2h = 1 \\ 7 + 2h = 1 \\ 2h = -6 \\ h = -3$$

Levando o valor de $i$ em $I$ teremos:
$$g = -2(1) \\ g = -2$$

Desta maneira determinamos todos os elementos da matriz inversa de $B$:
$$B^{-1} = \left( \begin{array}{c c c}
3 & -4 & -2 \\
5 & -7 & -3 \\
- 1& 2 & 1
\end{array}\right)$$

Obs.: Avisamos que era um processo trabalhoso.